数学会考知识点汇总.doc

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集合的有关概念和运算
(1)集合的特性:确定性、互异性和无序性;
(2)元素a和集合A之间的关系:a∈A,或aA;
2、子集定义:A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集;记作:AB,
注意:AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
3、真子集定义:A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A;记作:;
4、补集定义:;
5、交集与并集交集:;并集:
6、集合中元素的个数的计算:若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是。
:
:三种形式:p或q、p且q、非p;
判断复合命题真假:
:p或q,同假为假,否则为真;p且q,同真为真;非p,真假相反。
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若p则q
逆否命题
若q则p
否
逆
为
互
互
否
互逆
互逆
互
否
互
为
逆
否
:
原命题:若p则q;逆命题:若q则p;
否命题:若p则q;逆否命题:若q则p;
互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
:
若,则p叫q的充分条件;
若,则p叫q的必要条件;
若,则p叫q的充要条件;
第二章函数

1、映射:按照某种对应法则f,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应,
记作f:A→B,若,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。
2、函数:(1)、定义:设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
(2)、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;
3、求定义域的一般方法:①整式:全体实数R;②分式:分母,0次幂:底数;
③偶次根式:被开方式,例:;④对数:真数,例:
4、求值域的一般方法:
①图象观察法:;②单调函数法:
③二次函数配方法:,
④“一次”分式反函数法:;⑥换元法:
5、求函数解析式f(x)的一般方法:
①待定系数法:一次函数f(x),且满足,求f(x)
②配凑法:求f(x);③换元法:,求f(x)
6、函数的单调性:
(1)定义:区间D上任意两个值,若时有,称为D上增函数;
若时有,称为D上减函数。(一致为增,不同为减)
(2)区间D叫函数的单调区间,单调区间定义域;
(3)复合函数的单调性:即同增异减;
:
定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系。
f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
:
定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
:
(1)平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b;(2)法则:加左减右,加上减下
(3)注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。(ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意义。
:
(1)定义:函数的反函数为;函数和互为反函数;
(2)反函数的求法:①由,反解出,②互换,写成,③写出的定义域(即原函数的值域);
(3)反函数的性质:函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域;
函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称;点(a,b)关于直线的对称点为(b,a);
二、指对运算:
:当n为奇数时,;当n为偶数时,
:正分数指数幂:;负分数指数幂:
:
(1)定义:如果,以10为底叫常用对数,记为lgN,以e=…为底叫自然对数,记为lnN
(2)性质:①负数和零没有对数,②1的对数等于0:,③底的对数等于1:,④积的对数:,商的对数:,
幂的对数:,方根的对数:,

函数
指数函数
对数函数
定义
1
y
x
y=ax
O
()
()
图象
a>1
0<a<1
a>1
O
1
y
x
y=logax
0<a<1
1
y=ax
x
y
O
O
1
y=logax
x
y
性
质
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
(0,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
单调性
在(-∞,+∞)
上是增函数
在(-∞,+∞)
上是减函数
在(0,+∞)
上是增函数
在(0,+∞)
上是减函数
函数值变化
图
象
定点
过定点(0,1)
过定点(1,0)
图象
特征
图象在x轴上方
图象在y轴右边
图象
关系
的图象与的图象关于直线对称
第三章数列
:(1)前n项和:;(2)前n项和与通项的关系:
:
:。:(关于n的一次函数),
:(1).(2).(即Sn=An2+Bn)
:或
:
(1)等差数列,若,则。
也就是:,如图所示:
(2)若数列是等差数列,是其前n项的和,,则,,成等差数列。如下图所示:
:
:;:(其中:首项是,公比是)
]:(推导方法:乘公比,错位相减)
说明:①;;当时为常数列,。
:,即(或,等比中项有两个)
:
(1)等比数列,若,则
也就是:。如图所示:
(2)若数列是等比数列,是前n项的和,,则,,成等比数列。
如下图所示:
:分析通项,寻求解法
:等差等比数列;:如an=2n+3n
:如an=;:“差比之积”的数列:如an=(2n-1)2n
第四章三角函数
1、角:与终边相同的角的集合为{}
2、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
(2)度数与弧度数的换算:弧度,1弧度
(3)弧长公式:(是角的弧度数)扇形面积:
P(x,y)
r
x
0
y
3、三角函数定义:(如图)
4、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系: (2)商数关系:(3)倒数关系:

5、诱导公式(理解记忆方法:奇变偶不变,符号看象限)
公式一:
公式二:公式三:公式四:公式五:

6、两角和与差的正弦、余弦、正切
::
::
: :
7、辅助角公式:
(其中称为辅助角,的终边过点,)
8、二倍角公式:(1): :
(2)、降次公式::
9、三角函数的图象性质
(1)函数的周期性:
①定义:对于函数f(x),若存在一个非零常数T,当x取定义域内的每一个值时,都有:f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫周期函数,非零常数T叫这个函数的周期;
②如果函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫f(x)的最小正周期。
(2)函数的奇偶性:
①定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有:f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数,f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数
②奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(3)正弦、余弦、正切函数的性质()
函数
定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
[-1,1]
奇函数
[-1,1]
偶函数
(-∞,+∞)
奇函数
图象的五个关键点:(0,0),(,1),(,0),(,-1),(,0);
0
1
-1
x
y
图象的五个关键点:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(,1);
0
1
-1
x
y
o
x
y
(4)、函数的相关概念:
函数
定义域
值域
振幅
周期
频率
相位
初相
图象
[-A,A]
A
五点法
当A时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
当A时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
的图象与的关系:
当时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍
当时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍
①振幅变换:
当时,图象上的各点向左平移个单位倍
当时,图象上的各点向右平移个单位倍
②周期变换:
③相位变换:
:
第五章平面向量
:向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
:(1)、向量的加减法:
三角形法则
平行四边形法则
向量的加法
首位连结
向量的减法
指向被减向量
(2)实数与向量的积:①定义:实数与向量的积是一个向量,记作:;
②它的长度:;
③:它的方向:当,与的方向相同;当,与的方向相反;当时,=;
:如果是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量,有且只有一对实数,使;
:
(1)坐标运算:设,则
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则.
(2)实数与向量的积的运算律:设,则λ,
(3)平面向量的数量积:
①定义:,.
①平面向量的数量积的几何意义:向量的长度||与在的方向上的投影||的乘积;
③、坐标运算:设,则;
向量的模||:;模||
④、设是向量的夹角,则。
5、重要结论:
(1)两个向量平行的充要条件:
设,则
(2)两个非零向量垂直的充要条件:
设,则
(3)两点的距离:
(4)P(x,y)分线段P1P2的定比满足,且P1(x1,y1),P2(x2,y2)
则定比分点坐标公式,中点坐标公式
(5)平移公式:如果点P(x,y)按向量平移至P′(x′,y′),则
6、解三角形:
(1)三角形的面积公式:
(2)正,余弦定理
①正弦定理:
②余弦定理:
求角:
第六章不等式
一、不等式的基本性质:
,此法尤其适用于不成立的命题。
:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小
:
:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即:若,则(当且仅当时取等号)
:①;②若,则
:求函数最值:
注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。
常用的方法为:拆、凑、平方;如:①函数的最小值。
②若正数满足,则的最小值。
三、绝对值不等式:,注意:上述等号“=”成立的条件;
五、不等式的解法:
:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
判别式:△=b2-4ac
x1
x2
x
y
O
x1=x2
x
y
O
x
y
O
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
“>”取两边
R
一元二次不等式
的解集
“<”取中间
:(“>”取两边,“<”取中间)
(1)当时,的解集是,的解集是
(2)当时,,
:通解变形为整式不等式;
⑴;(2);
:数轴标根法。
第七章直线和圆的方程
一、直线

(1)直线的倾斜角α∈[0,π).(2)直线的斜率,即
(3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为

(1)点斜式:y-y0=k(x-x0)(2)斜截式:y=kx+b
(3)两点式:(4)截距式:
(5)一般式Ax+By+C=0(A、B不同时为0).

(1)平行:当直线l1和l2有斜截式方程时,k1=k2且b1≠b2;
(2)重合:当l1和l2有斜截式方程时,k1=k2且b1=b2;
(3)相交:当l1,l2是斜截式方程时,k1≠k2
(4)垂直:设两条直线和的斜率分别为和,则有
一般式方程时,(优点:对斜率是否存在不讨论)
(5)到角:直线到的角,是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角,它的范围是,当时.
(6)夹角:两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.
(7)交点:求两直线交点,即解方程组
:设点,直线到的距离为.
:设两条平行直线,它们之间的距离为,则有.
:利用直线垂直,平行等解决
----线性规划的三种类型:
:形如,把z看作是y轴上的截距,目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。
:形如时,把z看作是动点与定点连线的斜率,目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
:形如时,可把z看作是动点与定点距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。
二、曲线和方程:求曲线方程的步骤:①建系,设点;②列式;③代入④化简;⑤证明.
三、圆
1..圆的方程:
(1)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(a,b)为圆心,r为半径.
(2)圆的一般方程:(.)
(3)圆的参数方程:(为参数).
:给定点及圆.
①在圆内;②在圆上
③在圆外
:
设圆圆:;直线:;
圆心到直线的距离.
①几何法:时,与相切;时,与相交;时,与相离.
②代数法:方程组用代入法,得关于(或)的一元二次方程,其判别式为,则:与相切;与相交;与相离.
注意:几何法优于代数法

①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。
②若已知切线过圆外一点(x0,y0),则设切线方程为y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
:已知两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,则
第八章圆锥曲线

定义
第一定义
平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,,则有.
第二定义
平面内与定点的距离和它到定直线:的距离比是常数(),定直线l是椭圆的一条准线,常数e椭圆的离心率
方程
图像
关系
焦点
范围
对称性
坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.
顶点
长短轴
离心率
(0<e<1)
准线

定义
第一定义
平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.
第二定义
平面内与定点的距离和它到定直线:的距离比是常数(),定直线l是双曲线的一条准线,常数e双曲线的离心率
方程
图像
关系
焦点
范围
对成性
坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.
顶点
实轴虚轴
离心率
(e>1)
准线
渐近线
()
抛物线定义标准方程及其简单几何性质
定义
,定直线L叫做抛物线的准线.
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
(0,0)
离心率
直线和圆锥曲线的位置关系

(1)代数法:直线l:Ax+By+C=0和圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系可分为:相交、相切、相离.
设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0;由消去y(或x)得:
ax2+bx+c=0(a≠0);令Δ=b2-4ac,则Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.
(2)几何法:求大致位置和满足条件的直线时可用,精确计算时不可用。
:弦长公式.
第九章立体几何
:三个公理及推论。
:平行、相交、异面;

位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点。(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点(3)直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行
判定定理
性质定理
直线与平面垂直
判定定理
性质定理
直线与平面所成的角
(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角
(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角
(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直。
三垂线逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。
:平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)
空间两个平面
两个平面平行
判  定
性   质
(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(2)垂直于同一直线的两个平面平行
(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
相交的两平面
二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平面垂直
判  定
性   质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
(1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内
:
(1)判断线线平行的常用方法:
①a∥b,b∥c,a∥c;②a∥α,aβ,α∩β=ba∥b
③a⊥α,b⊥αa∥b;④α∥β,α∩γ=a,β∩γ=ba∥b
(2)判定线线垂直的常用方法.
①a⊥α,bαa⊥b; ②b∥c,a⊥ca⊥b
③a⊥α,b∥αa⊥b; ④三垂线定理及逆定理
(3)判定线面平行的常用方法:
①定义 ②aα,bα且a∥ba∥α.③α∥β,aβa∥β;  
(4)判定线面垂直的常用方法
①c⊥a,c⊥b且aα,bα,a,b无公共点c⊥α;②a∥b且a⊥αb⊥α
③α∥β且a⊥αa⊥β
(5)判定面面平行的常用方法:
①a、bβ,a∩b=A,若a∥α,b∥αα∥β
②a⊥α,α⊥βα∥β
③α∥β,β∥rα∥γ
(6)判定面面垂直的常用方法.
①a⊥α,aβα⊥β ②α∥β,b⊥rβ⊥r
③a⊥β,a∥αα⊥β 

(1)棱柱的定义、分类,直棱柱、正棱柱的性质;(2)长方体的性质。
(3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别,以及它们的特有性质。
(4)S侧=各侧面的面积和;(5)V=Sh。

棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心)
相关计算:S侧=各侧面的面积和 ,V=Sh
:(1)S球=4πR2 V球=πR3 (2)球面距离的概念
:计算步骤:一作、二证、三算
(1)异面直线所成的角范围:0°<θ≤90°方法:①平移法;②向量法.
(2)直线与平面所成的角范围:0°≤θ≤90°方法:关键是作垂线,找射影.
(3)二面角方法:①定义法;②射影面积法:S′=Scosθ三垂线法;③向量法.
其中二面角的平面角的作法
①定义法:由二面角平面角的定义做出平面角;
②三垂线法:一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。
(4)两点之间的距离.(5)点到直线的距离.
(6)点到平面的距离:(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2)等体积法.(3)向量法
(7)两条平行线间的距离.
(8)两异面直线间的距离(1)定义法,即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法
(9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离.(11)球面距离
第十章排列组合与二项式定理概率


①分类原理:N=n1+n2+n3+…+nM(分类)②分步原理:N=n1·n2·n3·…nM(分步)
(有序)与组合(无序)
Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=Ann=n!
Cnm=Cnm=Cnn-m Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1k•k!=(k+1)!-k!
、组合问题几大解法:总原则:先选后排,先分再排
1、多排问题直排法:把n个元素排成若干排的问题,若没其他的特殊要求,可用统一排成一排的方法来处理.
2、特殊元素优先法:对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安排。在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。
3、相邻问题捆绑法:对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
4、不相邻问题插空法:对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可(有时候两端的空隙的插法是不符合题意的)
5、正难则反排除法(或淘汰法):对于含有否定词语“至多”,“至少”类的问题,从正面解决不容易,可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去,应注意既不能多减也不能少减。
6、元素重复问题住店法(或映射法):解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素:一类元素可重复,另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”,能重复的元素看着“店”,再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。
二项式定理:
1.(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
+1项: Tr+1=Cnran-rbr作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
:对称性Cnm=Cnn-m
最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n -1
:P(A)=1;不可能事件:P(A)=0;随机事件的定义:0<P(A)<1。
:如果一次试验中可能出现的结果有年n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率.
:、B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B);
推广:.
:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.(A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生)(A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生。P(A)+P(B)=1
:事件A(或B)是否发生对事件B(或A),等于每个事件发生的概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B).
推广:若事件相互独立,则.
:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率:。特殊:令k=0 得:在n次独立重复试验中,事件A没有发生的概率为Pn(0)=Cn0p0(1-p)n=(1-p)n令k=n得:在n次独立重复试验中,事件A全部发生的概率为Pn(n)=Cnnpn(1-p)0=pn