高数下册知识点 （2）.doc

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基本概念
距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
多元函数:,图形:
极限:
连续:
偏导数:
方向导数:
其中为的方向角。
梯度:,则。
全微分:设,则
性质
函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4
闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
微分法
定义:
复合函数求导:链式法则
若,则
,
隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)
应用
极值
无条件极值:求函数的极值
解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
若,,函数有极小值,
若,,函数有极大值;
若,函数没有极值;
若,不定。
条件极值:求函数在条件下的极值
令:———Lagrange函数
解方程组
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
二重积分
定义:
性质:(6条)
几何意义:曲顶柱体的体积。
计算:
直角坐标
,
,
极坐标
三重积分
定义:
性质:
计算:
直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
柱面坐标
,
球面坐标
应用
曲面的面积:
第十一章曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义:
性质:
1)
2)
3)在上,若,则
4)(l为曲线弧L的长度)
计算:
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则
对坐标的曲线积分
定义:设L为面内从A到B的一条有向光滑弧,函数,在L上有界,定义,
.
向量形式:
性质:
用表示的反向弧,则
计算:
设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为
,其中在上具有一阶连续导数,且,则
两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,,,
则.
格林公式
1、格林公式:设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数在
D上具有连续一阶偏导数,则有
2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,则
曲线积分在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
对面积的曲面积分
定义:
设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,
定义
计算:———“一单二投三代入”
,,则
对坐标的曲面积分
预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
定义:
设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义
同理,
性质:
1),则
2)表示与取相反侧的有向曲面,则
计算:——“一投二代三定号”
,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“+”,为下侧取“-”.
两类曲面积分之间的关系:
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有
或
通量与散度
通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:
散度:
斯托克斯公式
斯托克斯公式:设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线,S的侧与G的正向符合右手法则,在包含å在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
环流量与旋度
环流量:向量场沿着有向闭曲线G的环流量为
旋度:
第十二章无穷级数
常数项级数
定义:
1)无穷级数:
部分和:,
正项级数:,
交错级数:,
2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)条件收敛:收敛,而发散;
绝对收敛:收敛。
性质:
改变有限项不影响级数的收敛性;
级数,收敛,则收敛;