构造函数证明数列不等式答案.docx

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构造函数证明数列不等式答案
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构造函数证明数列不等式答案
:
ln22+ln33+ln44+L+
ln33
nn
<3-
n
5n+66
(nÎN).*
解析:先构造函数有lnx£x-1Þlnx£1-1,从而
x
x
ln22+ln33+ln44+L+
ln33
nn
<3-1-(n
+
+L+
n)
因为
+
+L+
n
æ11ö=ç+÷+è23ø11öæ111111öæ1
++++++L+++L+ç÷çn÷nn
2+13øè456789øè2
n-1
æ3n-13öæ101ö3æ3
>+ç+÷+ç+÷+L+çç2×3n-1+3n
6è69øè1827øè
ö5n
÷=
÷6ø
n
所以
ln22
+
ln33
+
ln44
+L+
ln33
n
n
<3-1-
n
5n6
=3-
5n+66
:(1)a³2,ln22
a
a
+
ln33
a
a
+L+
lnnn
a
a
<
2n
-n-1
2(n+1)
(n³2)
解析:构造函数f(x)=
lnxx,得到
lnnn
a
a
£
lnnn
2,再进行裂项
lnnn
£1-
1n
<1-
1n(n+1),所以有
<ln2,13+
<ln3-ln2,…,13
n
1n
<lnn-ln(n-1),1n+1
<ln(n+1)-lnn,相
加后可以得到:
+L+
1n+1
<ln(n+1)
另一方面SABDE>
1n-1
ò
n-i
1x,从而有
1n-i
n
×i>
ò
n-i
1x
n
=lnx|n-i=lnn-ln(n-i)取i=1
有,>lnn-ln(n-1),12
1n
所以有ln(n+1)<1+
+L+,所以综上有
+
+L+
1n+1
12!
<ln(n+1)<1+
+L+
1n
:(1+)(1+
13!)×L×(1+
1n!)<e和(1+
19)(1+
181)×L×(1+
2n)<:构造函数后即可证明
:(1+1´2)×(1+2´3)×L×[1+n(n+1)]>e解析:ln[n(n+1)+1]>2-
3n(n+1)+1
2n-3,叠加之后就可以得到答案
:
ln23+ln34+ln45
lnnn+1
<
+L+
n(n-1)
(nÎN*,n>1)
解析:构造函数f(x)=ln(x-1)-(x-1)+1(x>1),求导,可以得到:f'(x)=
1x-1
-1=
2-xx-1
'',令f(x)>0有1<x<2,令f(x)<0有x>2,所以f(x)£f(2)=0,所以ln(x-1)£x-2,令x=n+1有,lnn
lnnn+1
n-12
£n-1
所以
£,所以
ln23
+
ln34
+
ln45
+L+
lnnn+1
<
n(n-1)
(nÎN*,n>1)
=1,an+1=(1+
1n(n+1)
1n+n
n)an+
n
.证明an<
n
解析:an+1=(1+)an+
<(1+
1n(n+1)
+)an,然后两边取自然对数,可以得
到lnan+1<ln(1+
1n(n+1)
+
n)+lnan
然后运用ln(1+x)<x和裂项可以得到答案)放缩思路:
an+1£(1+
1n
+n
+
2n)anÞlnan+1£ln(1+
1n+n
+
n)+lnanÞ£lnan+
1n+n
+
n
。于
是lnan+1-lnan£
1n+n
+
n,n-1n-1
å
i=1
(lnai+1-lnai)£
å
i=1
1n-1
1-()
111112(2+i)Þlnan-lna1£1-+=2--n<+i2
1-
即lnan-lna1<2Þan<:题目所给条件ln(1+x)<x(x>0)为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论2
an+1£(1+
1n(n-1))an+
1n(n-1)
n
>n(n-1)(n³2)来放缩:
Þan+1+1£(1+
1n(n-1))(an+1)Þ
ln(an+1+1)-ln(an+1)£ln(1+
n-1
n-1
1n(n-1)
1i(i-1))<
1n(n-1)
.1n<1,Þ
å[ln(ai+1+1)-ln(ai+1)]<
i=2
å
i=2
Þln(an+1)-ln(a2+1)<1-
即ln(an+1)<1+ln3Þan<3e-1<.(2022年厦门市质检)已知函数f(x)是在(0,+¥)上处处可导的函数,若x×f'(x)>f(x)
f(x)x
在x>0上恒成立.(I)求证:函数g(x)=在(0,+¥)上是增函数;
(II)当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);(III)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x¹0时恒成立,求证: