第10章曲线积分与曲面积分
第一类曲线积分
第二类曲线积分
格林定理
平面曲线积分与路径无关全微分求积
两类曲面积分及其计算
高斯定理斯托克斯定理
散度与旋度
第一类曲线积分
第一类曲线积分的概念和性质
定义设f(x,y)是曲线C上的有界函数,将C任意分为n个子弧段,其长分别为Δs1,Δs2,…,Δsn。在第i个子弧段上任意取点 ,作出积分和式
如果不论子弧段怎样分法,点Pi怎样取法,当分店n无限增多且子弧段的最大长度λ=maxΔsi趋于零时,极限
其中,f(x,y)称为被积函数;f(x,y)ds称为被积表达式;C称为积分路线(或称积分路径);ds为弧微分
第一类曲线积分也称为对弧长的曲线积分
根据定义,分布在平面曲线C上密度为μ(x,y)的质线的质量是密度函数在曲线C上的第一类曲线积分
当被积函数f(x,y)在曲线C上连续时,则它在C上的第一类曲线积分存在,即式(2)右边的极限存在
存在,则称I为函数f(x,y)在曲线C上的第一类曲线积分,记作,即
曲线积分具有同定积分相类似的一些性质,例如:
1.
2.
3. 设C是由C1和C2两段曲线弧组成的,则
(k为常数)
4. 中值定理设函数f(x,y)在曲线C上连续,则必存在点,使
其中s是曲线C的弧长
对于空间曲线段L,我们把f(x,y,z)在L上的第一类空间曲线积分定义为
记作,其中λ=maxΔsi
第一类曲线积分的计算法
设f(x,y)是定义在平面曲线C上的连续函数,我们要计算积分
设曲线C用弧长s为参数,其参数方程为
据定义,
故得
如果曲线C的方程不是用弧长s作为参数而是用一般的参数t,即曲线C的方程为
这时可以把s看作是t的可微函数s =s(t),当t =α时,s =σ1
当t =β时,s =σ1,由于曲线C是光滑(或按段光滑)的,则
故得
特别的,如果曲线C由直角坐标方程y=y(x),a≤x≤b给出,则
类似的,若空间曲线L由参数方程
给出,则有以下计算公式
,可以求得质量分布在空间曲线段L上的物体的质心的坐标为
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