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厦门大学2005
(一)数学分析(6大题共110分)
判断题(5小题共20分,每小题4分;只答“是”或“否”)
函数在某点连续的充分必要条件为:对任何收敛到数列,数列均收敛.
设函数定义在上,则在处连续的充要条件为

其中,
设是次多项式,则都有
设在上导数处处存在,,由中值定理,使得,则是关于的连续函数.
当函数在上可积时,
2,(15分)设

证明存在,并求.
3,(15分)证明:若函数在区间上连续及当时,则函数满足拉普拉斯方程.
4,(20分)设的收敛半径为,令,证明
在任何有限区间上都一致收敛于.
5,(20分)设函数在上可积,证明存在上的多项式函数列使得
.
6,(20分)计算

其中为包围原点的简单封闭曲线.

(二)实变函数(3大题共40分)
1,(1)(5分)叙述(鲁金)定理(可测函数与连续函数的关系定理)
(10分)应用(1):设,是中的有界开集,.
2,(1)(5分)叙述引理
(5分)设在上几乎处处收敛于,且存在,当时,满足,试应用引理证明
3,(1)(5分)叙述控制收敛定理
(10分)设

其中,令,是中开集,如果是一个可积函数,并在的一个紧子集外恒为,试证明当充分小时,函数,对任意指标
有

这里,其中,本题可以只考虑一维情形

(三)常微分方程卷(两大题共40分)
1,(1)(5分)写出齐次线性微分方程组的行列式.
(10分)将阶齐次线性微分方程
,
化成线性微分方程组的形式,并由此定义阶齐次线性微分方程的个解的行列式.
(3)(5分)证明对的任一点皆有
(4) (10分)已知二阶线性齐次方程
,
的一个非零特解应用本题(1) (3) 的结论求出与线性相关的一个特解.
2,(10分)设表示欧式坐标而且是定义在上的向量值函数,都是标量函数满足
试化它为常微分方程并解之。这里表变量的梯度(
)
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(一)数学分析(6大题共110分)
判断题(5小题共20分,每小题4分;只答“是”或“否”)
在闭区间上定义的连续函数一定一致连续;
设为可微函数,则;
一个