八上数学13.5.3角平分线.ppt

板栗中心学校王彪
八年级上数学
角平分线
逆命题与逆定理
不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?
A
O
B
C
再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?
(对折)
情境问题
探究角平分线的性质
(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明:∵OC平分∠ AOB (已知)
∴∠1= ∠2(角平分线的定义)
∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB
∴∠PDO= ∠PEO=900
在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO(已证)
∠1= ∠2 (已证)
OP=OP (公共边)
∴△PDO ≌△PEO(.)
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
(3)验证猜想
此性质的推理过程:
∵∠1= ∠2, PD ⊥ OA, PE ⊥ OB(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)
P
A
O
B
C
E
D
1
2
(4)得到角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等。
如图,在Rt△ABC 中,
做完本题后,你对角平分线,又增加了什么认识?
思考
角平分线的性质,为我们证明两条线段相等又提供了新的方法与途径。
A
B
C
BD是角平分线,
DE⊥AB,垂足为E,
E
DE与DC 相等吗?
D
答:
DE=DC。
∵ BD是∠ABC的平分线
且DE⊥BA,
∴ DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)
为什么?
DC⊥BC,
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,
点D、E为垂足,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
O
C
B
1
A
2
P
D
E
证明: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,
在Rt △PDO 与Rt △PEO中
∴∠PDO= ∠PEO=900
∵PD=PE(已知)
OP=OP(公共边)
∴Rt△PDO≌ Rt △PDO(.)
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等。
逆命题
到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
A
C
B
E
D
P
M
H
K
如图,在△ABC的顶点 B的外角的平分线BD与
顶点 C的外角的平分线CE相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、AC的距离相等.
证明:过点P作PM、PK、 PH分别垂直于AB、BC、AC,垂足为M、K、H。
∵BD平分∠CBM
∴PK=PM
同理PK=PH
∴PK=PM=PH
即点P到三边AB、BC、AC的距离相等
若求证点P在∠BAC的平分线上,又该如何证明呢?
已知:如图,△相交于点P. 求证:点P在∠BAC的平分线上.
M
A
B
C
P
N
作业
思考分析
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
如图,设△相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
基本想法是这样的:我们知道,,.
P
A
C
B
M
N
D
E
F
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).