南京航空航天大学教案-南京航空航天大学精品课程.doc

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南京航空航天大学教案
课程名称
应用统计学
授课对象
本科
课时
2
授课内容
多元线性回归分析
授课方式
讲课
教材名称及版本
应用统计学(高等教育出版社)
教学目的与要求
通过本章学习,使学生掌握多元回归模型的建立、检验及区间预测,熟练掌握运用Excel软件或Spss软件求解模型参数,并能对实际问题进行分析预测。
教学重点
多多元线性回归模型建立;多元线性回归模型的检验;预测区间。
教学难点
多元线性回归模型的检验及区间预测
授课基本内容
第三节多元线性回归模型
一元线性回归研究的是某一因变量与一个自变量之间的关系问题。但是,客观现象之间的联系是复杂的,许多现象的变动都涉及到多个变量之间的数量关系。这种研究某

我们仍采用最小二乘法估计参数向量B,设观测值与模型估计值的残差向量为E,则
其中,。根据最小二乘法的要求,应有
=min()
即 =min
由极值原理,根据矩阵求导法则,式()对B求导,并令其等于零,则得
==
=-2=0
整理得回归系数向量B的估计值为
()

(1)回归系数的数学期望
=
=
==B ()
可见是B的无偏估计量。
(2)回归系数的协方差
因为=-B=
故=
=
=
=()
二、多元线性回归模型的检验
在建立多元线性回归模型的过程中,为进一步分析回归模型所反映的变量之间关系的是否符合客观实际,引入影响因素是否有效,同样需要对回归模型进行检验。常用的检验方法有R检验法,F检验法,t检验法和DW检验法。

R检验法是通过复相关系数检验一组自变量与因变量y之间的线性相关程度的方法,又称复相关系数检验法。
()
这时称为复可决系数。它的平方根R为
R= ()
称为复相关系数。
与相关系数检验法一样,复相关系数检验法的步骤为:
(1)计算复相关系数;
(2)根据回归模型的自由度n-m和给定的显著性水平值,查相关系数临界值表;
(3)判别。
由于是一个随自变量个数增加而递增的增函数,所以,当我们对两个具有不同自变量个数但性质相同的回归模型进行比较时,就不能只用作为评价回归模型优劣的标准,还必须考虑回归模型所包含的自变量个数的影响。因此,就需要定义一个经过校正的,记为:
()
这里,n-m是剩余变差的自由度,n-1是总变差的自由度。由此可见,中体现了自变量个数 m的影响。
与之间的关系式如下:
=1-(1-) ()

F检验是通过F统计量检验假设:是否成立的方法。
(1)构造F统计量。
()
式中的m-1是回归变差的自由度,n-m是剩余变差的自由度。
(2)查F分布表。对给定的显著性水平,查F分布表可得临界值。
(3)判断。若F>,则否定假设,认为一组自变量与因变量y之间的回归效果显著;反之,则不显著。
一般来讲,回归效果不显著的原因有以下几种:
①影响y的因素除了一组自变量之外,还有其他不可忽略的因素;
②y与一组自变量之间的关系不是线性的;
③y与一组自变量之间无关。
这时,回归模型就不能用来预测,应分析其原因另选自变量或改变模型的形式。

前面讲的R检验和F检验都是将所有的自变量作为一个整体来检验它们与因变量y的相关程度以及回归效果,而t检验则是通过t统计量对所求回归模型的每一个系数逐一检验假设:=0 j=1,2,…,m是否成立的方法。
(1)t统计量
()
式()中,j=1,2,…,m,为第j个自变量的回归系数;是的样本标准差。
(2)t检验的步骤
①计算估计标准误差
②计算样本标准差= ()
式中为矩阵主对角线上的第j个元素。
③计算t统计量
④建立假设
:=0 j=1,2,…,m
若>式成立,则否定假设,说明对y有显著影响;反之假设成立,=0被接受,说明对y无显著影响,则应删除该因素。

(1)如果回归模型存在自相关时我们继续使用最小二乘法估计参数,可能将产生下列严重后果:
①估计标准误差S可能严重低估的真实值;
②样本方差,可能严重低估的真实值;
③估计回归系数可能歪曲的真实值;
④通常的F检验和t检验将不再有效;
⑤根据最小二乘估计量所作的预测将无效。
在序列相关中,最常见的是一阶自相关,最常用的检验方法是DW检验法(Durbin-Watson准则)。DW统计量定义为
()
其中,,是的估计量;
因的最初序号也必须是1,所以分子求和公式必须从2开始。将()式展开,得
()
在大样本情况下,即n>30,可以认为,所以上式可以写成