开题报告郜向阳.doc

毕业设计(论文)
本科毕业设计(论文)开题报告
题目: 二阶变系数齐次微分方程的求解问题


课题类型: 设计□实验研究□论文√
学生姓名: 郜向阳
学号: 3110801133
专业班级: 数学111
学院: 数理学院
指导教师: 马静
开题时间: 2015 年3月18日
2015年3月18日
本课题的研究意义、研究现状和发展趋势(文献综述)
1、研究意义
现如今在科学研究、工程技术中,常常需要将某些实际问题转化为二阶微分方程问题,因此,研究不同类型的二阶微分方程的求解方法是十分重要的。尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展,通过电子计算机可以迅而且比较准确地处理有关微分方程的求解问题。但是,在实际学习生活中对于一个常微分方程,不论从理论研究的角度,或从实际应用的角度看,都具有十分重要的地位。现在我们对于常系数线性微分方程的解法,已非常完备,但是对于理论比较完整的、有广泛应用的线性变系数微分方程至今却没有一般的求解方法,而二阶变系数齐次微分方程又是二阶变系数微分方程中的一个较为特殊的形式,因此通过对二阶变系数齐次微分方程的求解来解决一般的二阶变系数微分方程一直是人们感兴趣的研究课题。
2、研究现状
二阶变系数齐次常微分方程在微分方程理论中占有重要位置。在许多实际问题中,常常将某些问题化成为二阶变系数线性微分方程,因此有必要研究这类方程的解法及其特性。而我们也有如下办法去求解一些特定的二阶变系数齐次常微分方程,我们通过对系数满足特定条件的二阶变系数微分方程,通过观察其形式,巧妙利用常数变易法,化为恰当方程,AIT方程来求解。主要针对不同类型的二阶变系数方程用不同的方法实现解决部分满足一定条件下的方程的解的目的。通过具体例题的解法,解决系数满足特定条件下的二阶变系数齐次线性微分方程求解的问题,从而使我们能更进一步加深对二阶变系数齐次微分方程解法的理解,以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要。
3、发展趋势
现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就,尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法,其过程还是比较繁琐的,计算量偏大,且需要考虑函数是否解析,幂级数在某个区间是否收敛等。另外,对于二阶变系数非齐次线性微分方程,目前还尚有通用的求解方法,只有一些特殊类型是可以求解的。应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,因此应该加深对二阶变系数齐次线性微分方程的研究,向着能创造出更加有利于二阶变系数非齐次线性微分方程形式解,为更好地解决二阶变系数非齐次线性微分方程的解奠定基础,使变系数微分方程的理论更加完善。
二、主要设计(研究)内容
二阶变系数奇次微分方程的求解基本理论已经发展到一定的程度,很多学者也提出了很多不同的特殊方法解决了一些具有某种特点的变系数方程,特别是在将变系数方程转化为常系数方程的问题上提出了很多的变换的方式。
研究内容主要包括如下几个方面:
(1)深入研究二阶变系数齐次线性微分方程的理论和定律,并根据微分方程的特点确立其初等解的模型。
(2)提出一种方程解的构造方法,将二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题转化为函数优化问题,最后通过几种实例方程验证该方法的可行性。
(3)有效的实现求解二阶变系数齐次线性微分方程的初等解法,同时对算法中的参数确定给出较为详细的叙述。
三、毕业设计(论文)研究方案及工作计划(工作重点与难点及拟采用的途径)
1、研究方案
通过收集查阅相关的文献资料和图书馆资料,及上网查阅相关资料并整理,对教材的相关知识认真学习和研究,适时的请教我的指导老师,不断的总结自己知识的不足,改掉漏洞,多与同学交流。通过大量例题的研究,比较,分析,根据不同题型的特点,归纳总结出二阶变系数奇次微分方程的初等解法。
第1章介绍二阶变系数奇次微分方程的研究意义、研究现状、发展趋势。
第2章用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解。
第3章化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解。  
AIT方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解。
第5章对每个方法进行相应的评价并评估其在实际中的应用性。
2、工作重点与难点
重点在于搞清楚什么类型特点或者满足何种条件的微分方程适合哪种方法,熟悉各个类型的微分方程的特征,难点在于怎样设计出对一般情形下的微分方程的统一解法。
3、拟采用途径
主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法,求解在方程满足特定条件下,巧妙地求解二阶变系数齐次微分方程的通解。主要是通过常数变易法,化为恰当方程通过降阶法,AIT方程求解,
使得变系数齐