圆锥曲线复习总结——椭圆(教师版).doc

圆锥曲线复习——椭圆
高考对椭圆的考查趋势:
椭圆定义的灵活应用。
利用标准方程研究几何性质尤其是离心率求值问题。
求椭圆的标准方程。
椭圆与平面向量、数列等知识交汇题。
椭圆的定义:
平面上到两个定点,的距离之和为定值(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
焦点:两定点, ; 焦距:两焦点的距离()
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
【例题1】:若椭圆上一点p到焦点的距离为6,则点p到另一个焦点的距离为________.(4)
【解析】:由椭圆的定义可知:所以点p到其另一个焦点的距离为:=10-6=4.
【例题2】:已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( ).


【例题3】(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是
(a-c) (a+c)
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
O
x
y
D
P
A
B
C
Q
(1),此时小球经过的路程为2(a-c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程



图形
范围
对称性
关于x轴,y轴,坐标原点对称
关于x轴,y轴,坐标原点对称
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴的长为2a,
短轴的长为2b
焦距
离心率
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
【例题1】已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
[解析]当时,,方程表示焦点在y轴上的椭圆,
当时,,方程表示圆心在原点的圆,
当时,,方程表示焦点在x轴上的椭圆
【例题2】已知椭圆焦点在y轴上,若焦距为4,则m=_________.
【解析】由题意知:m-2>10-m>0,所以6<m<10,且2c=4c=2.,.
【例题3】已知点是椭圆(,)上两点,且,则=
[解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,
【例题4】►(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
【解析】由题意可知:△PF1F2是直角三角形,且△PF1F2的面积为9,则可得:
,整理可得=,由此可得
椭圆标准方程的求法.
求椭圆的标准方程有两种方法:定义法和待定系数法。
定义法:根据椭圆的定义,确定a,b的值,结合焦点位置可写出椭圆方程。
待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b的值;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论。
求椭圆标准方程的几种情况:
已知焦点坐标,和a。
【例题1】焦点在(-3,0)和(3,0),椭圆上每一点到两个焦点的距离之和为10.
解:
由题意可知
由可得椭圆的标准方程为
已知焦点坐标,和a与b之间的关系。
【例题2】已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是.
解:已知为所求;
已知焦点坐标,和椭圆上一点坐标。
【例题3】求过点(),且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程。
【解析】方法一:椭圆的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆定义可知:。解得。
由。由此求得椭圆的标准方程为:
方法二:椭圆的焦点为(0,-4),(0,4),焦点在y轴上,且c=4.
设所求椭圆的标准方程为:。因为c=4,且
又点()在所求椭圆上,所以,联立方程可得b=2,a=2。
未知焦点坐标,只知椭圆上两点坐标。
【例题4】已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,并经过两点A(1,),B(2,0).求椭圆的标准方程。
【解析】:当椭圆的焦点位置不明确时,可设为椭圆的标准方程,避免讨论和繁杂的计算。也可设.
其他类型
【例题】设椭圆的中心在原点,坐标轴为