矩阵的等价,合同,相似的联系与区别.doc

目录
摘要 I
引言 1
1矩阵间的三种关系 1
矩阵的等价关系 1
矩阵的合同关系 2
. 矩阵的相似关系 2
2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 3
3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 6
结束语 6
参考文献 6
摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系,、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、,得到二者间彼此的转化.
关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件
引言:
在高等代数中,讨论了矩阵的三种不同关系,它们分别为矩阵的等价、,性质,相关定理及各自存在的条件,然后给出了这三种矩阵关系间的联系,即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵,相似为正交相似,合同为正交合同时,,最后给出了他们的区别和不变量.
1矩阵间的三种关系
矩阵的等价关系
定义1 两个矩阵等价的充要条件为:存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵,使
由矩阵的等价关系,可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件:
(1)矩阵与必为同型矩阵(不要求是方阵).
(2)存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使得.
性质1
(1)反身性:即.
(2)对称性:若,则
(3)传递性:即若,,则
定理1 若为矩阵,且,则一定存在可逆矩阵(阶)和( 阶),.
推论1 设是两矩阵,则当且仅当.
矩阵的合同关系
定义2 设均为数域上的阶方阵,若存在数域上的阶可逆矩阵,使得,则称矩阵为合同矩阵(若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵),由矩阵的合同关系,不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件:
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
性质2
(1)反身性:任意矩阵都与自身合同.
(2)对称性:如果与合同,那么也与合同.
(3)传递性:如果与合同,又与合同,那么与合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系,而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等.
定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理3 复数域上秩为的二次型,可以用适当的满秩线性变换化为标准形:

. 矩阵的相似关系
定义3 设均为数域上阶方阵,若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵(若级可逆矩阵为正交阵,则称与为正交相似矩阵)
由矩阵的相似关系,不难得到矩阵与相似,必须同时具备两个条件
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵
(2) 在数域上阶可逆矩阵,使得
性质3
(1)反身性;
(2)对称性由即得;
(3)传递性和即得
总之,合同是一种矩阵之间的等价关系,而且经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
(4) (其中是任意常数);
(5);
(6)若与相似,则与相似(为正整数);
(7) 相似矩阵有相同的秩,而且