矩阵理论
成都信息工程学院
李胜坤
特征值与特征向量
第一章矩阵的相似变换
定义设,如果存在和非零向量,使,则叫做的特征值, 叫做的属于
特征值的特征向量。
(3)属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
矩阵的特征值与特征向量的性质:
(2)特征值的几何重数不大于它的代数重数。
(1)一个特征向量不能属于不同的特征值。
(4) 设是的个互不同的特征值, 的几何重数为, 是对应于的个线性无关的特征向量,则的所有这些特征向量
仍然是线性无关的。
(5)设阶方阵的特征值为,
则
相似对角化
定义:设,若存在使得
则称
相似矩阵的性质:
相似矩阵有相同的特征多项式,有相同的特征值,有相同的行列式值,有相同的秩,有相同的迹,有相同的谱。
定义:设,如果相似于一个对角
矩阵,则称可对角化。
定理: 阶矩阵可以对角化的充分必要条件是
每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
例1 判断矩阵
是否可以对角化?
定理: 阶矩阵可以对角化的充分必要
条件是有个线性无关的特征向量。
于是的特征值为(二重)
由于是单的特征值,它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑
解: 先求出的特征值
于是
从而不相似对角矩阵,不能对角化。
Jordan标准形介绍
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