线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化过程稿.ppt

第二节相似矩阵和矩阵对角化
本节目的:利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵,并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法。
相似矩阵的定义
定义3 已知矩阵, 是两个阶方阵如果存在一个满秩矩阵使得
则称, 相似,记作
相似关系满足以下性质:
(1)自反性: ;
(2)对称性: ;
(3)传递性:
一些有用的定理
定理3 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
证明:因为相似,所以存在可逆阵使得
推论如果阶方阵与对角矩阵相似,则;也是的特征值。
若方阵能与一个对角阵相似,则称可对角化
方阵可对角化的判定条件
定理4 阶方阵可以与一个对角型矩阵相似的充分必要条件是, 有个线性无关的特征向量。
证明假设存在可逆矩阵,使得
为对角阵,
设,则由
即
于是
可见,是的特征值,向量就是矩阵关于特征值的特征向量
反之,设恰有个特征值,并可对应个特征向量,并且它们线性无关。
令即是要找的相似变换。
定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件,而且也给出了求解相似变换阵的方法。
定理5 如果矩阵的特征值,则与它们对应的特征向量和线性无关。
推论若阶方阵有个互异的特征值
则可对角化,且
注意上述命题的逆命题不成立,例如单位阵
定理6 设是的个互异的特征值, 是的属于的个线性无关的特征向量, ,则
也线性无关。
定理6是说当有多重特征值时,若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话,则其也可以对角化。
定理7 设是的一个重特征值,对应的特征向量线性无关的最大个数为,则
也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数。
定理8 阶矩阵可对角化的充要条件是的每个重特征值对应有个相形无关的特征向量。即
例题
例1 设试问可否对角
化?若能,求出相应的矩阵。
解:由可得的特征值为
(二重)
求解特征向量,分别求解