高等数学课件-D122数项级数及审敛法.ppt

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三、绝对收敛与条件收敛
第二节
一、正项级数及其审敛法
常数项级数的审敛法
第十二章
*四、绝对收敛级数的性质
第1页,共33页。
2023/1/4
同济版高等数学课件
一、正项级数及其审敛法
若

收敛
部分和序列
有界.
若
收敛,
∴部分和数列
有界,
故
从而
又已知
故有界.
则称
为正项级数.
单调递增,
收敛,
也收敛.
证:“”
“”
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都有
定理2(比较审敛法)
设
且存在
对一切
有
(1)若强级数
则弱级数
(2)若弱级数
则强级数
证:
设对一切
收敛,
也收敛;
发散,
也发散.
分别表示弱级数和强级数的部分和,则有
是两个正项级数,
(常数k>0),
因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,
故不妨
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(1)若强级数
则有
因此对一切
有
由定理1可知,
则有
(2)若弱级数
因此
这说明强级数
也发散.
也收敛.
发散,
收敛,
弱级数
第4页,共33页。
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(常数p>0)
的敛散性.
解:1)若
因为对一切
而调和级数
由比较审敛法可知p级数
发散.
发散,
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因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.
时,
2)若
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调和级数与p级数是两个常用的比较级数.
若存在
对一切
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证明级数
发散.
证:因为
而级数
发散
根据比较审敛法可知,
所给级数发散.
例2.
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定理3.(比较审敛法的极限形式)
则有
两个级数同时收敛或发散;
(2)当l=0
(3)当l=∞
证:据极限定义,
设两正项级数
满足
(1)当0<l<∞时,
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由定理2可知
同时收敛或同时发散;
(3)当l=∞时,
即
由定理2可知,若
发散,
(1)当0<l<∞时,
(2)当l=0时,
由定理2知
收敛,
若
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