数值分析实验.docx

实验五非线性方程与方程组的数值解法
专业班级:信计131班姓名:段雨博学号:2013014907
一、实验目的
1、熟悉matlab编程。
2、学习非线性方程求根的方法及程序设计算法。
二、实验题目
1、迭代函数对收敛性的影响
用迭代方法求方程的根
方案(1):化方程为等价方程:

取初值,迭代10次。
方案(2):化方程为等价方程:

取初值,迭代10次,观察其计算值,并加以分析。
2、初值的选取对迭代法的影响
用牛顿法求方程在附近的根。
方案(1):使用牛顿法并取,由得:
,迭代10次。
方案(2):取,并利用相同的公式:,迭代10次,观察比较并分析原因。
3、收敛性和收敛速度的比较。
求方程的全部实根,其中误差限
方案(1):用牛顿法求解;
方案(2):用简单迭代法求解。
取相同的迭代初值,比较各方法的收敛速度。
三、实验原理与理论基础
1、牛顿法:
设已知方程有近似根(假定),将函数在点展开,有
,于是方程可近似地表示为

这是个线性方程,记其根为,则的计算公式为:

这就是牛顿法。
2、迭代法原理
将非线性方程化为一个同解方程,并且假设为连续函数,任取一个初值,代入的右端,得,继续,……,则,,称式为求解非线性方程的简单迭代法。
3、收敛性与收敛阶
设迭代过程收敛于方程的根,如果当时迭代误差满足渐进关系式常数,则称该迭代过程是阶收敛的。特别地,时称为线性收,时称为超线性收敛,时称为平方收敛。
定理4:对于迭代过程及正整数,如果在所求根的临近连续,并且,则该迭代过程在点附近是阶收敛的。
四、实验内容
第一题:1、编写一般迭代法的M文件程序。
2、分别调用两个程序得出结果。
第二题:1、编写牛顿迭代法的M文件。
2、对等价方程分别取不同的初值,调用牛顿迭代法求解。
第三题:1、分别调用简单迭代法和牛顿迭代法求解。
第一题:一般迭代法的M文件:
function [x_star,it] =iterate(~,~,~,~)
%%求方程根的一般迭代法,调用方法为
%%[x_star,it]=iterate(phi,x,ep,it_max);
%%其中philosophy(x)为迭代函数;x为初始点;
%%ep为精度要求,缺省值为1e-5;
%%it_max为最大迭代次数,缺省值为100,x_star为得到的解;
%%it为所需的迭代次数.
ifnargin<4;
it_max=100;
end
ifnargin<3
ep=1e-5;
end
k=1;
whilek<=it_max
x1=feval(phi,x);
if abs(x1-x)<ep break;
end
x=x1;k=k+1;
end
x_star=x1;it=k;
方案一:
>> phi=@(x)(((x+1)/2)^(1/3))
phi =
@(x)(((x+1)/2)^(1/3))
>> [x_star,it]=iterate(phi,0)
x_star =
   
it =
     8
方案二:
>> phi=@(x)(2*x^3-1)
phi =