排列组合综合应用题.ppt

排列组合应用题解法
从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
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排列与组合的关键是问题与次序有无关系。
5 加法原理和乘法原理:完成任务时是分类进行还是步进行。
例1:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种
在中间,也不种在两端的花盆中,问有多少不同的种法?
解一:分两步完成;
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置
第二步排其余的位置:
解二:第一步由葵花去占位:
第二步由其余元素占位:
小结:当排列或组合问题中,若某些元素或某些位置有特殊要
求的时候,那么,一般先按排这些特殊元素或位置,然后再
按排其它元素或位置,这种方法叫特殊元素(位置)分析法。
例2:要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果
舞蹈节目不排头,并且任何2个舞蹈节目不连排,则不同的
排法有几种?
【图示】
解:5个独唱节目的排法是,舞蹈不排在头一个节目,
又需任何两个舞蹈节目不连排,只要把舞蹈节目插入独
唱节目的5个空隙中即可,即舞蹈的排法是,所以排
法种数是。
①
②
③
④
⑤
①
②
③
小结:当某几个元素要求不相邻时,可以先排没有条件限
制的元素“普通元素”,再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中,这种方法叫插入法。
练习、有6个坐标连成一排,3个人就座,恰有2个空位相邻的排法种数是______
,现有3人就坐,要求每个人的两侧都有空椅子,则不同的入座方法有( )种?
练习:2、一座桥上有编号为1~10的10盏路灯,为节约用电,又不影响照明,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,问不同的关灯方法有多少种?
3、某中学高二年级有7个班,从中选出12名同学参加市中学生数学竞赛,每班至少有1人,问名额分配方案有多少种?
例3:某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮,其中3个方按钮一定要装在一起,而且红色方钮必在另两方钮中间,有多少种装法?
【图示】
解:先把三个方按钮排好,有种排法,然后把三个方按
钮“捆绑”在一起看成一个按钮,与其余5个按钮相当于6个按
钮排成一排,有种排法,所以一共有种
排法。
小结:如果某几个元素必须相邻时,首先可以把这几个元
先进行排列,然后把这几个元素捆绑在一起看成一个元素,
再与其它元素进行排列,这种方法叫捆绑法。
练习、9名同学站成一排,规定A、B间恰好有4名学生,有多少种不同的排法?
例4:空间十个点A1,A2,A3,···········A10,其中A1,A2······A5在同一平面内,此外再无三点共线四点共面,以这些点为顶点,一共可以构成几个四面体?
A1·
A2·
·A3
·A4
·A5
·A6
·A7
·A8
·A9
·A10
【图示】
小结:在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题,经常先
把所有元素进行排列或组合,然后再去掉含有不能含的元
素的取法数,这种方法叫排除法。
,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )种:

例5:圆周上有n个点(n≥6),用线段将它们彼此相连,这
些线段中任意三条在圆内没有公共点,问这些线段构成多
少个顶点在圆内的三角形?
A1
B2
B1
C2
C1
A2
问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内三角形,从圆周上n个点中选6个点的组合数就是圆内三角形的个数。
°
°
°
°
例6:有一群孩子外出旅行,回来时准备包车回家,包车费
20元,他们把每个人的钱凑合起来,其中有23人,每人有
,另外10人,每人有1元硬币一枚,问有多
不同的凑合方法?
解:把所有人的硬币都凑合起来共有23×+10×1=
元,,这样问题可转化为取多余钱的方法数

数,则有种取法。
小结:对于某些问题如果直接去考虑,就会比较复杂,若
能转化为与其等价的问题,就变得简单,容易解决,这种
方法叫转化法。
例7:①在从2,3,5,7,11,13这六个数字中任选两个,分
别作分子,分母的分数中,真分数有几个?
真分数
真分数
真分数
真分数
真分数
假分数
假分数
假分数
假分数
假分数
解:因为从六个数字中任选两个作为分