线性叠加原理
线性叠加原理是将复杂问题简化为简单问题的方法,在数学物理中有最强的应用。实际上我们能够解析解决的所有问题都与之有关。
先举个简单例题,在系统介绍
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求一个整数N,被11出余5,被7除余2
这是孙子兵法问题,有通常的解法。我们用线性叠加原理讲解其道理。
N可以分解为下面三个数的组合:
求整数N1,被11除余5,被7除余0
求整数N2,被11除余0,被7除余2
求整数N1,被11除余0,被7除余0
N=N1+N2+m N3
注意 N3随意加几次都不会改变余数,因此可以加m次。
还可以化简为
N可以分解为下面三个数的组合:
求整数N1,被11除余1,被7除余0
求整数N2,被11除余0,被7除余1
求整数N1,被11除余0,被7除余0
N=5N1+2N2+m N3
注意每次加入N1都不改变7除余数,而使11除余数增加1,加5次就能使11除余数变为5,以此类推。
这样问题变得简单多了。
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再举个例子
计算满足
数列通解
可以简化为下面两个特解的组合
即
值得注意的是C和D可以是任意常数
猜特解的办法是,先尝试多项式,再尝试指数,再尝试组合,一般根据源项形式猜
如第一方程猜解为, 带入,比较可以得到,
第二个猜解带入,可得,
这样也把第三个特解也求出来了,
因此原方程通解为
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