考数学代入法：.doc

2008年二轮复习高中数学方法讲解::
若动点P(X,Y)依赖于已知曲线上的另一动点Q(X',Y')而运动,且可求出关系式X'=f(X,Y),Y'=g(X,Y),于是将这个Q点的坐标表达式代入已知曲线的方程,化简后即得P点的轨迹方程,这种方法称为代入法。
Y
例1 定点A(3,0)为圆X2+Y2=1外一定点,P为圆上任一点,∠POA的平分线交PA于Q,求点Q的轨迹方程。
【巧解】如图,设Q(X,Y),P(X0,Y0)
Q
P
|AQ|
——
|QP|
|0A|
——
|0P|
由于OQ平分∠POA,则= =3,
C
A
O
B
X
即Q分AP的比为3,由定比分点公式得
4
X0=—X-1
3
4
Y0=—Y
3
3+3XO
———
1+3
X=
解得
3YO
———
1+3
Y=
4
——Y-1
3
4
——X-1
3
代入X2+Y2=1得,( )2+( )2=1
9
—
16
3
X- —
4
化简得:( )2+Y2=
当∠AOP=0°时,其角分平线OX,
方程为Y=0(1≤X≤3)
综上所述,所求轨迹方程为
9
—
16
3
X- —
4
( )2+Y2= 和Y=0(1≤X≤3)
例2 设点Q是抛物线Y2=4X上的动点,O是原点,点P在OQ的延长线上,且
|0P| 3
——= —
|0Q| 2
。当点Q在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程。
→
0P
—= -3
→
PQ
|0P| 3
——= —
|0Q| 2
【巧解】设Q(X0,Y0),P(X,Y),由,且P在OQ的延长线上,得
λ=
-3X0
——
1-3
由定比分点坐标公式,得 X=
2
—X
3
-3Y0
——
1-3
Y=
X0=
2
—X
3
2
—Y
3
2
—Y
3
∴代入Y2=4X得( )2=4· 得Y2=6X
Y0=
故动点P的轨迹方程为Y2=6X
例3.[]如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
【详解】
解:(1)设切点A、B坐标分别为和
切线AP的方程为:
切线BP的方程为:
解得P点的坐标为:
所以的重心G的坐标为

所以,由点P在直线上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
即
巧练一: []在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点、(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
【