内切球外接球问题--原创.doc

处理球的“内切”“外接”问题
一、球与棱柱的组合体问题:
1正方体的内切球:
设正方体的棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切的球半径。
(1)截面图为正方形的内切圆,得;
(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截面图,圆为正方形的外接圆,易得。
图3
图4
图5
正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得。
、、、.如果、、两两互相垂直,且,求这个球的表面积是______.
【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】
,又知球与此正三棱柱的5个面都相切,求球与球的体积之比与表面积之比。
分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。
图6
解:如图6,由题意得两球心、是重合的,过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为,则,正三棱柱的高为,由中,得
,
,
图1
二棱锥的内切、外接球问题
4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少?
分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。
解:如图1所示,设点是内切球的球心,,,外接球半径为.
在中,,即,得,得
【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为( 为正四面体的高),且外接球的半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。
,底面边长为3,侧棱长为2,则其外接球和内切球的半径是多少
6. 正四棱锥,底面边长为2,侧棱长为3,则其外接球和内切球的半径是多少
练习:
1.(球内接正四面体问题)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,
则此球的表面积为
2. (球内接长方体问题)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为。
,且两两互相垂直,若,
则球心到截面的距离是.
4.(球内接正三棱锥问题)在