四、旋转体的侧面积(补充)
三、已知平行截面面积函数的
立体体积
第二节
一、平面图形的面积
二、平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
所围图形的面积.
解: 由
得交点
例2. 计算抛物线
与直线
的面积.
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
例3. 求椭圆
解: 利用对称性,
所围图形的面积.
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
解:
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积.
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
点击图片任意处
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到 2所围图形面积.
例6. 计算心形线
所围图形的
面积.
解:
(利用对称性)
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