《弧弦圆心角》课件(2).ppt

弧、弦、圆心角的关系
☆复习引入
1、圆是轴对称图形吗?它的对称轴是?垂径定理的内容是?我们是怎样证明垂径定理的?
圆是轴对称图形,对称轴是直径所在的直线。垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的。
2、绕圆心转动一个圆,它会发生什么变化吗?圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
它是不会发生变化的,我们称之为“圆具有旋转不变性”。圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。
·
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
一、概念
练一练:找出右上图中的圆心角。
圆心角有:∠AOD,∠BOD,∠AOB
1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
①
②
③
④
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?
根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′,OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.
O
A
B
O
A
B
A′
B′
A′
B′
因此,弧AB与弧A′B′重合,AB与A′B′重合.
在等圆中,是否也能得到类似的结论呢?
AB=A′B′
⌒
⌒
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角_____, 所对的弦________;
在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角______,所对的弧_________.
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中,
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
有一组量相等,
它们所对应的其
余各组量也相
等.(P83)
三、定理
三、定理
·
O
B′
A′
B
A
·
O
·
B′
O
·
A′
B′
O
·
B
A′
B′
O
1、
2、
3、
请利用右图用数学语言叙述一下我们刚学的三条定理。
∵在⊙o中,∠AOB=∠A′B′C′
∴AB=A′B′,AB=A′B′
⌒
⌒
∵在⊙o中, AB=A′B′
∴∠AOB=∠A′B′C′, AB=A′B′
⌒
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∵在⊙o中, AB=A′B′
∴∠AOB=∠A′B′C′, AB=A′B′
⌒
⌒
(见教材P83练习 1 ) 如图,AB、CD是⊙O的两条弦.
(1)如果AB=CD,那么___________,_________________.
(2)如果,那么____________,_____________.
(3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,_________.
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
四、练习
AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
AB=CD
⌒
⌒
解:OE=OF,理由如下:
∵ OE⊥AB,OF ⊥CD
∴ AE= AB,CF= CD
又∵AB=CD ∴ AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt ⊿AOE Rt ⊿COF
∴OE=OF
证明:
∴ AB=AC.⊿ABC是等腰三角形
又∴∠ACB=60°,
∴⊿ABC是等边三角形,AB=BC=CA.
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
五、例题
例1 如图,在⊙O中,AB=AC, ∠ACB=600
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC
∵ AB=AC
⌒
⌒
⌒
⌒
(见教材P83练习 2 )如图,AB是⊙O 的直径,
∠COD=35°,求∠AOE 的度数.
·
A
O
B
C
D
E
解:
六、练习
BC=CD=DE
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∵ BC=CD=DE
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⌒
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=350
∴∠AOE=1800-3×350
=750