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“五角星”的五个角的度数之和的一组变式
浙江省宁波市镇海应行久外语实验学校余满龙(315200)
如图1是我们大家非常熟悉的我国国旗图案,国旗上有五颗美丽的五角星,你知道每
一颗五角星的五个角的度数之和是多少度吗要回答这个问题不难,因为国旗上每一个五角星
都是正五角星,如图2所示,它的每一个角都是36,即∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=36,故
有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180.如图3,在一般的五角星中上述关系还成立吗写出你的
结论,并简要说明你的理由.
A
BE
图2
图1
CD
图3
在这里我们先了解一个有用的基本图形与相关的一个结论:
大家知道,在图4中,∠3=∠1+∠2(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和).
C
D
1O
2图6
3AB
图4图5
(1)基本图形:图5;(2)结论:∠A+∠B=∠C+∠D(证明请同学们自己完成).
对于图3,我们连结CD,得图6,这里构了图造5这个基本图形,所以∠B+∠E=∠1+
∠2,这样5个顶角的和等于△ACD的三个内角的和180.
【变式1】当A向下移动到BE上时,五个角的和(∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)
有无变化
EBAEE
AEBB
BAA
CC
C
DC
变式4
【变式变式21】当点A进一步向下移动至如图所示的位置,五个角的和(∠变式2D变式3DCAD+∠B+∠C+
D
∠D+∠E)有无变化
【变式3】将A,C同时移动至如图所示的位置,五个角的和(∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+
∠E)有无变化
【变式4】将A,C同时移动至如图所示的位置,五个角的和(∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+
∠E)有无变化
对于上述四个变式,五个角的和180,对变式1、2,我们仍都连结
CD,5个角的和等于△ACD的三个内角的和180;对于变式3、4,我们都连结DE,5个角的和等
于△BDE的三个内角的和180.
利用图5这个基本图形及结论,我们可以解决很多类似的问题.
【变式5】如果截去五角星的一个角请你求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
F
E
A
BD
C
变式5
对于变式5,我们连结BC,如下图,则∠A+∠D=∠1+∠2,
这样六个角的和等于四边形BCEF的内角和360.
动手试一试,显显你的能力:
(1)、图7(2)、图7(3)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗
AB
F
AE
AF
DE
F
D
BCD
CC
E
图7(2)图7(3)
图7(1)B
,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.
,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的度数.
C
HG
AD
E
F
DIF
G
HE
BBC
A
如图8如图9
参考答案:
(1)直接利用图5的基本图形及结论,7(2)、7(3)中分别连结BC和AB,再
利用图5的基本图形及结论,再用多边形内角和公式,均可求得6个角度之和都是360.
、FC和HC,便可把所求的8个角度之和转化为四边形ABCH的内
角和为360.
,便可把所求的9个角度之和转化为五边形ABCDG的内角
和为540.