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天体运动专题
彭军
概述
牛顿力学在天体运动上的应用,最能体现牛顿力学的价值。在牛顿力学提出前,对于太阳系内天体运动的最准确的描述是开普勒三定律,开普勒定律是不折不扣的通过实验观测总结出的运动规律。在牛顿力学提出以后,支配天体运动的是动力学理论和万有引力定律这两条规律,不仅开普勒三定律可以用这两条规律完全解释,甚至由于行星间微小的引力影响所造成的误差都可以得到精确的验证。竞赛题的解决,主要也在于应用动力学理论和万有引力定律,解决一些简单的问题。
天体运动的理论基础
(1)首先让我们来看看开普勒三定律,并讨论其成立原因。
太阳
行星
vθ
r
vr
v
开普勒第一定律:行星沿椭圆轨道绕太阳运行,太阳位于椭圆的一个焦点上。这条定律阐述了行星运动的轨迹形状,当然,这种结果可以认为是行星运动遵循牛顿动力学理论的结果,另外行星与太阳之间的引力满足万有引力定律也是形成这种形状轨道的原因。
开普勒第二定律:对同一行星而言,从太阳到行星的线段,在相等时间内扫过面积相等。这条定律比较特殊,因为即使行星与太阳之间的引力不满足万有引力定律,这条规律同样成立。所以开普勒第二定律与万有引力定律无关,完全是因为行星运动遵循牛顿动力学理论的结果,如果讨论地更加深入,我们会发现这是牛顿动力学理论的推论即角动量守恒在起作用。
开普勒第二定律从一个方面描述了行星绕日运动的快慢,我们可以引入一个叫面积速度的参量,它表示单位时间内行星太阳连线扫过的面积,与速度一样,它也可以是一个瞬时参量。如图所示,r表示太阳到行星距离,v表示行星的瞬时速度,vr和vθ分别表示行星速度在平行和垂直于r方向的分量。可以证明,瞬时面积速度可以表示为:
这样,开普勒第二定律可以被描述为面积速度恒定。
开普勒第三定律:行星绕太阳运行周期的平方正比于各行星轨道半长轴的立方,即T2 ∝a3。这条定律描述了不同行星绕日运行周期同轨道的关系,它是由动力学原理和万有引力定律共同决定的。
(2)当然,竞赛题中所涉及到的天体运动规律并非都与开普勒定律有关,因此牛顿动力学原理和万有引力定律的应用成为解题关键。
处理天体运动时,在牛顿动力学理论中我们主要利用其推论──角动量守恒定律。也就是说,开普勒第二定律可以作为一个基本原理,小天体绕太阳运行的面积速度守恒。
至于万有引力定律,我们并不采用它的最常规表示式,因为涉及到牛顿第二定律的变力情况用初等数学显然是不够的。因为能量关系一般只涉及到初末状态而忽略中间步骤,所以用能量形式来解决天体运动问题是合理的。因为万有引力是保守力,所以相互吸引的天体之间存在相应的势能,这种势能随天体间距离变化而变化。因为我们所涉及的天体都可以看作质量分布对称的球体,所以它们之间的引力势能随距离变化关系,与质点间引力势能形式相同:
此公式是以两天体相距无穷远为零势能位置考虑的。需注意的是,此公式与万有引力定律公式的常规表达式是等价的,这种势能关系表明了两物体间吸引力是满足的。
根据以上讨论,我们处理天体运动问题的理论出发点有两个,一个是角动量守恒定律,或者说面积速度守恒,另一个是万有引力的势能关系。
(3)一般的天体系统都是由多个星体所组成的,在这样的天体系统中,我们以这个系统的质心系为参照系,由于系统内星体间距离相对于外界星体来说很小,所以当只考虑此系统内的星体间相对运动时,外界星体的引力就可以忽略不计。比如我们考虑月球和地球之间的相互绕转时,太阳的引力就可以忽略不计,而考虑行星绕太阳的运行时,银河系中心的引力就可以忽略不计。也就是说我们近似认为这个天体系统的质心系为惯性系。
另一点需要注意的是,因为万有引力随距离平方的增大而减小,所以随着距离增加,引力的减小很快,所以当两个星体距离太远时,我们就可以忽略其间的相互作用,或者叫做两个星体已脱离了它们之间的引力范围。
举个例子,比如从地球发射出来的宇宙飞船,当它在地面时所受地球引力比所受太阳引力大得多,但当它离开地球距离为地球半径两倍时,地球引力已经减为原来的1/4。当离开地球100倍地球半径时,受地球引力已经为地面时的1/10000,这个时候我们甚至已经可以认为它已经脱离了地球引力而运动到地球系之外,这时计算相应的引力势能时,已经可以将距离取为∞了;但是100倍地球半径这个距离对于日地间距离来说却很小,所以这时飞船受到的太阳引力还基本没变,它与太阳间的引力势能也可以认为没有变化。这个例子说明:飞船要离开太阳系,必须先摆脱地球引力,再摆脱太阳引力;地球的引力范围,在太阳系这个体系里,可以认为是个点。
问题:第三宇宙速度的推导。
其中M为地球质量,M'为太阳质量,R为地球半径,R'为日地平均距离,v为地球绕日运行速率,v3和v3'分别表示第三宇宙速度和飞行器摆脱地球引力后相对地球速度。