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概率论与数理统计公式集锦
概率论与数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
公式名称
公式表达式
德摩根公式
,
古典概型
几何概型
,其中μ为几何度量(长度、面积、体积)
求逆公式
加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A∪B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB),时P(A-B)=P(A)-P(B)
条件概率公式
与乘法公式
全概率公式
贝叶斯公式
(逆概率公式)
两个事件
相互独立
;;;
二、随机变量及其分布
1、分布函数
2、离散型随机变量及其分布
分布名称
分布律
0–1分布
二项分布
泊松分布
3、续型随机变量及其分布
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布
分布名称
密度函数
分布函数
指数分布
正态分布
标准正态分布
4、随机变量函数Y=g(X)的分布
离散型:,
连续型:①分布函数法,②公式法
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律:分布函数
边缘分布律:
条件分布律:,
2、连续型二维随机变量及其分布
①联合分布函数及性质
分布函数:=P(X<=x,Y<=y)
性质:
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数:密度函数:
③条件概率密度
,
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立,
离散型:,连续型:
4、二维随机变量和函数的分布
离散型:
连续型:
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义:离散型,连续型
②性质:,,
,当X、Y相互独立时:
2、方差
①定义:
②性质:,,
当X、Y相互独立时:
3、协方差与相关系数
①协方差:,当X、Y相互独立时:
②相关系数:,当X、Y相互独立时:(X,Y不相关)
③协方差和相关系数的性质:,
,
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布
p
p(1-p)
二项分布
np
np(1-p)
泊松分布
均匀分布
正态分布
指数分布
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若对于任意有
2、大数定律:①切比雪夫大数定律:若相互独立,
且,则:
②伯努利大数定律:设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则,有:
③辛钦大数定律:若独立同分布,且,则
3、中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理:独立同分布的随机变量,均值为,方差为,当n充分大时有:
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理:随机变量,则对任意x有:
③近似计算:
概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数
设总体,则样本的联合分布函数
2、统计量
样本均值:,样本方差:
样本标准差:,样本阶原点距:
样本阶中心距:
3、三大抽样分布
(1)分布:设随机变量且相互独立,则称统计量服从自由度为的分布,记为
性质:①②设且相互独立,则
(2)分布:设随机变量,且X与Y独立,则称统计量:服从自由度为的分布,记为
性质:①②
(3)分布:设随机变量,且与独立,则称统计量服从第一自由度为m,第二自由度为n的分布,记为,性质:设,则
七、参数估计

①定义:用估计总体参数,称为的估计量,相应的为总体的估计值。
②当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
:
基本思想:用样本矩来估计相应的总体矩
求法步骤:设总体X的分布中包含有未知参数,它的前k阶原点
矩中包含了未知参数,
即;又设为总体X的n个样本值,用样本矩代替,在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量。
注意:分布中有几个未知参数,就求到几阶矩。

设取自的样本,设或,求法步骤:
①似然函数:
②取对数:或
③解方程:,解得:

估计量的评价标准
无偏性
设为未知参数的估计量。若E()=,则称为的无偏估计量。
有效性
设和是未知参数的两个无偏估计量。若,则称有效。
一致性
设是的一串估计量,如,有则称为的一致估计量(或相合估计量)。

条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为的置信区间
已知
未知
已知
未知
八、假设检验

基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
小概率事件的概率就是显着性水平α,常取α=,或。
基本步骤
①提出原假设H0;②选择检验统计量;③对于α查表找分位数λ,使,从而定出拒绝域W;
④由样本观测值计算统计量实测值;并作出判断:当实测值落入W时拒绝H0,否则认为接受H0。
两类错误
第一类错误
当H0为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否定H0。这时,我们把客观上H0成立判为H0为不成立(即否定了真实的假设),称这种错误为“弃真错误”或第一类错误,记为犯此类错误的概率,即:P{拒绝H0|H0为真}=;
第二类错误
当H1为真时,而样本值却落入了接受域,应接受H0。这时,我们把客观上H0不成立判为H0成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为“取伪错误”或第二类错误,记为犯此类错误的概率,即:P{接受H0|H1为真}=。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当容量n一定时,变小,则变大;相反地,变小,则变大。取定要想使变小,则必须增加样本容量。

条件
原假设
检验统计量
统计量
分布
拒绝域
已知
未知
未知
或
已知
(少见)
或