概率论与数理统计模拟试题.doc

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,为两个散布函数,其相应的概率密度,是连续函数,则必
为概率密度的是(D)
AB2
CD
2.
设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4)且有关系数=1,则(D)
AP(Y=-2X-1)=1BP(Y=2X-1)=1
CP(Y=-2X+1)=1DP(Y=2X+1)=1
3.
已知概率论的期末考试成绩听从正态散布,从这个整体中随机抽取n=36的样本,并计算得
其均匀分为79,标准差为9,那么以下成绩不在此次考试中全体考生成绩均值μ的的置信区
间以内的有(),而且当置信度增大时,置信区间长度()。
已知:
,减小,减小
,增大,增大
答案:D
分析:由题知,=9,n=36,X=79
当=时,1-=
2
所以Z==
2
z
n
z
n

2
2

9

36
9

36
即μ的的置信区间为(,)
且当μ的置信度1-增大时,置信区间的长度也增大。
故,答案为D.
4.
以下选项中能够正确表示为散布函数F(x)或连续性随机变量的概率密度函数f(x)的是
()。
0,x
0
1,0
x2
(x)
3
B.
,2x5
1,x
5
1
x2
2
(x)
2
e
,x0
D.
0,x
0

0,x
0
sinx,0
x
F(x)
4
x,
x
1
4
1,x
1
sinx,
3
x
f(x)
2
0,其余
答案:B.
分析:。A不知足右连续
,,且在这个范围上积分
,D为(-1)。故C,D错误
5.
设随机变量X,Y听从正态散布N(1,2),N(1,2),而且X,Y不有关,aXY与XbY亦
不有关,则().
(A)ab1(B)ab0(C)ab1(D)ab0
应选(D).
解X~N(1,2)
,Y~N(1,2)
,于是DX
2,DY2.
又Cov(X,Y)
0,Cov(aX
Y,XbY)
0.
由协方差的性质有
Cov(aXY,XaY)
aCov(X,X)Cov(Y,X)abCov(X,Y)bCov(Y,Y)
aDXbDY
2a
2b
0
(D).
6.
设X为失散性随机变量,且piP[Xai](i1,2......),则X的希望EX存在的充分条件
是()
A.

lim

anpn

0

B.

lim

an

2pn

0
n

n
C.

anpn收敛

D.

an2pn收敛
n1

n1
答案:D
分析:EX存在anpn收敛,所以是EX存在的必需条件其实不必定是充分条件,而B不
n1
能保证收敛,因此正确选项是D
希望和级数知识的综合观察。
7.
设听从二项散布,其散布律为
若不是整数,则取何值最大
答案:D
分析:
方法一(清除法):
求取何值最大,由

为众数的时候最大,易得

一定取整数
则:由题设可知不是整数,不对
可由不对可知,B也不是整数,不对
不必定能否是整数,不对
为取整函数,为整数,则为正确答案
方法二:
即
解得
①
②
由答案一定为整数,将联立并取整,即为答案
8.
假定A、B、C是三个随机事件,其概率均大于零,A与B相互独立,A与C相互独立,B与C
互不相容,则以下命题不正确的选项是()
与BC相互独立与B∪C相互独立与B-C相互独立、BC、CA相互独立答案:(A)
由A与B相互独立,A与C相互独立,B与C互不相容不可以得出A与BC相互独立。
9.
设随机变量X和Y都听从标准正态散布,则(
;
;
答案:C
分析:题中的X与Y未说明是相互独立的,所以
中X与Y都应除以它们各自的自由度。
10.
设平面地区D是由y
1
与直线y0,x
x

.
;
X2/Y2听从F散布;
.是不对的,
1,xe2所围成(如图),二维随机变量
(X,Y)在D上听从均匀散布,求(X,Y)对于X的边沿散布密度在x2处的值(D)
A、1B
、1
C
、1
D
、1
2
3
4
解:地区D的面积为SD
e2
1dxlnx
e2
2
1
x
1
由题设可知,(X,Y)的概率密度为
1
p(x,y)
(x,yD)
SD
0
其余
1
(x,y)D
2
0
其余
(X,Y)对于X的边沿密度为
pX(x)
p(x,y)dy
(1)当x
e2或x1时,pX(x)0
(2)当1
xe2时,有
pX(x)
p(x,y)dy
x11dy
1
0
2
2x
1
1
x
e2
于是
pX(x)2x
0
其余
1
故
pX(2)
4
11.
设整体X听从正态N(
,
2)散布,X1,X2,X3,,Xn是来自正态整体
X的样本,
n
|Xi
X|是
A的值为(D)
要使
A
的无偏预计量,则
i1

B.
1
C.
n
1
D.
2n(n1)
n
n
解答:由题意得
Xi~N(
,
2)且相互独立,i=1,2,,n
n
故E
E
A
|Xi
X|
nAE|X1
X|
i
1
而X1
XX1
1(X1
X2
Xn)
n1X1
1(X2X3
Xn)
n
n
n
进而X1
n
1
2
)
X~N(0,
n
1
x2
故E|X1X||x|
exp
2
n1
2(n1)
2
n
n
2x
1
x2
exp
2
0
n1
2(n1)
2
n
n
2
t2
n1
te2dt?
2
n
0

dx
dx
2
n-1
2
n
所以E
nA?
2
n1
2
n
故有nA?
2
n1
1
2
n
即A
2n(n
时,
是
的无偏预计量,应选择答案
D
1)
12.
设随机变量
X与Y相互独立,且
X听从标准正态散布
(0,1)
的概率散布为
N
,Y
P{Y0}
P{Y
1}
1
Fz(z)的中断
,记Fz(z)为随机变量ZXY的散布函数,则函数
2
点个数为(
)
(A)0(B)1(C)2(D)3
答案:B
分析:
F(z)P{Z
z}
P{XY
z}
P{XY
z,Y
0}P{XY
z,Y
1}
z
当z
0
时,Fz(z)
P{XY
z,Y
1}
P{XY
zY
1}P{Y
1}
1P{X
z}
1
(z)
1
1
2
2
当z
0
时,Fz(z)
P{XY
z,Y
0}
P{XY
z,Y
(z)
1}
2
2
所以z0为此中断点
。
13.
设整体X的概率密度为
(1)x,0x1
f(x)
0,其余
此中>1是未知参数,X1,X2,,Xn是取自X的样本,
则参数的矩预计量是()

B.
X1


1
X2
2X1
1
X
2X
答案:C
1
1
1,解得
=21
1,
分析:1=E(X)=
x(
1)xdx=(
1)
x1dx=
0
0
2
1
1
的矩预计量为?=2X
1
1
X
14.
设整体
:N(1,
12),:N(2,22)
,此中
1,1
0,2,2
0
都未知,
(X1,X2,L,Xm),(Y1,Y2,L
,Yn)
分别是
,
的样本,两个样真相互独立,
X

1

m
1n
Yi
2
m
2
2
n
(YiY)
2
Xi,Y
Q1
(XiX)
,Q2
m

i1
ni1,
i1
i1
这时假定查验
H0:
2
2
1
2的统计量F=()
1Q12
2
m
Q1
1
2
(A)
Q22
(B)
nQ2
1
Q12
m
Q12
m
1
m
1
(C)
1
1
Q22
n
Q22
n
(D)
n
1
1
2
Sx2
m1
Q1
解答:
1
Sy2
2
n
Q2
1
15.
此刻有三个盒子装着小球,已知一号盒子装了2个红球1个黑球,二号盒子装了3个红球1
个黑球,三号盒子装了2个红球2个黑球。此刻某人从三个盒子中摸出一个红球。则红球取
自一号盒子概率为()

B
1
C
23
D
2
36
3
36
7
解记Ai={取到第i号罐}i=1,2,3;B={获得红球}
由贝叶斯公式得P(A|1B)
P(B|A1)P(A1)
3
P(Ai)P(B|Ai)
i1
此中P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,3.
23

16.
设X1,X2,,Xn,Xn1是来自正态整体N,2的样本,
X
1n
Xi,S2
1
ni
1
n1

n
Xn1X
n
2
听从的散布是.
XiX,则统计量Y
S
n1
i1
(A)
N
0,1
(B)
t(n)
(C)
t(n
1)(D)
t(n
1)
2
0,n
12,于是
n
Xn1X~N0,1.
解:因为X~N,
,因此Xn1
X~N
n
n
n
1
而n
1S2/
2~
2n
1,又S2与Xn1
X相互独立,故由
t散布的定义知
n
Xn1
X
Xn
1X
n
n
1
~t(n
1).所以,答案(D)正确.
n
1S2
S
n
1
2
n1
17.
设、

、、独立同散布,且

P(

=0)=,P(

=1)=,i=1,2,3,4.
1
2
3
4
i
i
1
x1
2
x2
0
方程组
只有零解的概率(
)
3
x3
4
x4
0
A:B
:
C:
D:
答案:B
分析:齐次方程组只有零解的充要条件是系数队列式不为零,即为=—=—
1223
1
因为
、
、
、
相互独立所以
1
、
相互独立P(=1)=P(
=1)=
4
1
2
3
4
2
1
2
P(=0)=P(=0)=
1
2
P(
=1)=
P(
=—1)=
P(
=0)=
P(
0)=

X听从正态散布
N(1,
12),随机变量Y听从正态散布
N(2,22),且
P{X
1
1}
P{Y
2
1},则必有(
)。
(A)
1
2
(B)
1
2
(C)
12(D)12
答案A

19.
设
X1,X2,Xn和Y1,Y2,Ym
是分别来自整体
X~N(,1)和
~
(,2
)
YN
2
的两个样
n
n
Yj,则a和b应当知足条件____________,
本,
的一个无偏预计形式为T
aXi
b
i1
i1
当a=______,b=______时,T最有效。
答案:anbm1
1
4
b
a
4nm
4nm