定积分的简单应用体积.ppt

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自学导引
(1)简单旋转体体积的求解步骤
①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形;
②确定轴截面图形的范围,即求交点坐标,确定积分上、下限;
③确定被积函数;
④确定旋转体体积的表达式(用定积分表示);
⑤求出定积分,即旋转体的体积.

提示 本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积,类似求面积,也可以利用定积分求空间几何体的体积,一般情况下,其旋转轴为x轴,根据旋转体的定义,旋转体的形成有两个要素:一是被旋转的平面图形,、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧,而在利用定积分求旋转体的体积问题中那么是一般的曲线.
:如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积?
设由曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.
名师点睛

在区间[a,b]内插入n-1个分点,使a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=1,把曲线y=f(x),a≤x≤b分割成n个垂直于x轴的“小长条〞,“小长条〞的宽是Δxi=xi-xi-1,i=1,2,…,“小长条〞绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片,,第i个小圆片近似于底面半径为yi=f(xi)的小圆柱,因此,第i个小圆台的体积Vi近似为Vi=πf2(xi)Δxi.
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1+f2(x2)Δx2+…+f2(xi)Δxi+…+f2(xn)Δxn].
这个问题是积分问题,那么有
(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定了被积函数.
(2)分清端点.
(3)确定几何体的构造.
(4)利用定积分进展体积表示.


得到一个几何体,求它的体积.
[思路探索]由旋转体体积的求法可知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积.
题型一 求简单几何体的体积
【例1】给定一个边长为a的正方形,绕其一边旋转一周,
【训练1】如下图,给定直角边为a的等腰直角三角形,绕
y轴旋转一周,求形成的几何体的体积.
[思路探索].
题型二 求组合型几何体的体积
【例2】如图,求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0
及y=0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.