学习三角函数的单调性的基本方法.pdf

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求三角函数的单调性的基本方法:
函数yAsin(x)k的单调区间的确定,首先要看A、ω是否为正,若ω为
负,则先应用诱导公式化为正,然后将ωx+φ看作一个整体,化为最简式,再结合A的正负,
3
在2kx2k,kz和2kx2k,kz两个区间内分别确定函数的
2222
单调增减区间。
1
ysin(x)
1、求函数32在区间[-2π,2π]的单调增区间。

解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAsin(x),A0,0)的形式:
11
ysin(x)sin(x)
3223
yAsinx
⑵把标准函数转化为最简函数()的形式:
11
zxysin(x)sinz
令23,原函数变为23
ysinz
⑶讨论最简函数的单调性:
ysiznysizn
从函数的图像可以看出,的单调增区间为
3
[2k,k2]3
K。所以2Kz2K,K
22,22
13
2Kx2KK
即2232,
511
4Kx4KK
∴33,
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间:
511
x
当k=0时,33
2223
x
当k=1时,33
71
x
当k=-1时,33
⑸在要求的区间内[-2π,2π]确定函数的最终单调增区间:
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因为x[2,2],所以该函数的单调增区间为
15
2xx2
3和3
2、求函
数

y2sin(2x)
6在区间[0,π]的单调增区间。
解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAsin(x),A0,0)的形式:

ysin(2x)sin(2x)
66
yAsinx
⑵把标准函数转化为最简函数()的形式:

z2xysin(2x)sinz
令6,原函数变为6
ysinz
⑶讨论最简函数的单调性:
ysiznysinz
从函数的图像可以看出,的单调增区间为
33
[2k,2k]K。所以2Kz2K,K
22,22
3
2K2x2KK
即262,
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15
KxKK
∴36,
⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间:
15
x
当k=0时,36
411
x
当k=1时,33
21
x
当k=-1时,36
⑸在要求的区间内[0,π]确定函数的最终单调增区间:
15
x[0,]x
因为,所以该函数的单调增区间为36。
1
ysin(x)
3、求函数23在区间[-2π,2π]的单调增区间。
解:yAsinx
⑴把标准函数转化为最简函数()的形式:
11
zxysin(x)sinz
令23,原函数变为23
ysinz
⑵讨论最简函数的单调性:
ysinzysinz
从函数的图像可以看出,的单调增区间为
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
2Kz2KK
22,。
1
2Kx2K
即2232,K
51
4Kx4KK
33,
⑶计算k=0,k=±1时的单调增区间:
51
x
当k=0时,33
713
x
当k=1时,33
1711
x
当k=-1时,33
⑷在要求的区间内[-2π,2π]确定函数的最终单调增区间:
又因为X[2,2],所以该函数的单调增区间为
51
x
33

1

0
-8-6-4-202468
X
-
-1
-
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
y2cos(2x)1
4、求函数3在区间[-π,π]的单调增区间

解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAcos(x),A0,0)的形
式:

y2cos(2x)12cos(2x)1
33
yAcosxK
⑵把标准函数转化为最简函数()的形式:

z2xy2cos(2x)12cosz1
令3,原函数变为3
y2cosz1
⑶讨论最简函数的单调性:
y2cosz1y2cosz1
从函数的图像可以看出,的单调增区间为
[2k,2k]K;[2k,2k]K。所以,单调增区
,单调减区间为,
间:2Kz2K,K

2K2x2KK
即3,

KxKK
∴36,
①计算k=0,k=±1时的单调增区间:
11
x
当k=0时,36
27
x
当k=1时,36
45
x
当k=-1时,36
②在要求的区间内[-π,π]确定函数的最终单调增区间:
x[,]
因为,所以该函数的单调增区间为
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5112
xxx
6、36和3
单调减区间:2Kz2K,K

2K2x2KK
即3,
2
KxKK
∴63,
①计算k=0,k=±1时的单调减区间:
12
x
当k=0时,63
75
x
当k=1时,63
51
x
当k=-1时,63
②在要求的区间内[-π,π]确定函数的最终单调减区间:
x[,]
因为,所以该函数的单调减区间为
5112
xx
63和63
1
y()lgcosx
5、求函数2的单调区间
解:令ulgcosx,cosx,函数cosx的减区间是函数ulgcosx的
1
y()ucosxulgcosx
减区间,因此是函数2的增区间;函数的增区间是函数的增
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1
1lgcosx
y()ucosx0y()
区间,因此是函数2的减区间。由于,所以函数2的单
调减区间为[2k,2k),单调减区间为(2k,2k]。

sin(2x)
ylog4
6、求函数1的单调区间。
2

解:令usin(2x),函数ylogu的增区间是函数usin(2x)的减区间且
414
2

使usin(2x)0;函数ylogu的减区间是函数usin(2x)的增区间且使
414
2

sixn(2)
usin(2x)0ylog4
4。所以,函数1的单调减区间为
2
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
2k2x2k(kz)kxk(kz)
42,即88;单调增区间为
3
2k2xk2k(z,即)kxk(kz)。
2488
x
y3tan()
7、求函数64的单调区间。

解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(yAtan(x),A0,0)的形式:
11
y3tan(x)3tan(x)
6446
yAtanx
⑵把标准函数转化为最简函数()的形式:
11
zxy3tan(x)3tanz
令46,原函数变为46
y3tanz
⑶讨论最简函数的单调性:
y3tanzy3tanz
从函数的图像可以看出,的单调区间(递减)为
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
KzK
(k,k)K。所以,K
22,22
1
KxKK
即2462,
48
4Kx4KK
∴33,