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回归分析理论
一、多元线性回归
表达式:
1、b=regress(Y,X)确定回归系数的点估计值
2、[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型
①bint表示回归系数的区间估计.
②r表示残差
③rint表示置信区间
④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值:相关系数r2、F值、与F对应的概率p
说明:相关系数r2越接近1,说明回归方程越显著; 时拒绝H0,F越大,说明回归方程越显著;与F对应的概率p<α时拒绝H0
⑤alpha表示显著性水平()
3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间
4、实例演示,函数使用说明
(1)输入数据
(2)回归分析及检验
运行结果解读如下参数回归结果为
,对应的置信区间分别为[-,]和[,]
r2=(越接近于1,回归效果越显著),F=,p=,由
p<,可知回归模型y=-+
(3)残差分析作残差图
从残差图可以看出,除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型y=-+,而第二个数据可视为异常点。
(4)预测及作图
二、一元多项式回归 1
、一元多项式回归函数
(1)[p,S]=polyfit(x,y,m)确定多项式系数的MATLAB命令
说明:x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn);p=(a1,a2,…,am+1)是多项式
y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1的系数;S是一个矩阵,用来估计预测误差
(2)polytool(x,y,m)调用多项式回归GUI界面,参数意义同polyfit
2、预测和预测误差估计
(1)Y=polyval(p,x)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y
(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA,
3、实例演示说明
观测物体降落的距离s与时间t的关系,得到数据如下表,求s的表达式(即回归方程s=a+bt+ct2)
t(s)1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
s(cm)
t(s)8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30
s(cm)
解法一:直接作二次多项式回归
故回归模型为
解法二:化为多元线性回归故回归模型为:
预测及作图
三、多元二项式回归
1、多元二项式回归Matlab命令
rstool(x,y,'model',alpha)
输