专题讲座4-不确定原理.doc

不确定原理
定义:一个力学量A的标准偏差为


式中。
同样地,对于任何另外一个可观测量,有
其中
由Schwarz不等式

那么现在对于任意一个复数,

因此,令,

但是





类似有,

因此

式中

是两个算符之间的对易关系。结论:

[]
这就是(普遍的)不确定原理。
举例来说,假设第一个可观测量是坐标(),第二个是动量()。它们的对易式是

所以

或者,因为标准差由其本质是正值,

事实上,对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”—我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有完备的共同本征函数系注意,不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设,而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪,它在实验室是怎么起作用的呢—为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢?你当然可以测量一个粒子的位置,但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰,这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量,这个态就会坍塌为一个长正弦波,(现在)具有确定的波长—但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量时你得到的位置。这样问题是,第二次测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时,才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量(这种情况下第二次坍塌不改变任何事情)。但是,一般来说,这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。
假设你握着一根长绳的一端,有节奏地上下摆动产生一个波。如果有人问:“精确来讲波在那里?”你可能会认为此人有点不合时宜:精确来讲波不在任何地方¾它分布在50英尺或更长的范围。另一方面,如果他问波长是多少,你可以给他一个合理的答案:大约是6英尺。
反过来,如果你突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰。对这种情况,第一个问题(精确来讲波在那里)就有意义了,但是第二个(波长是多少?) 就有点不合时宜了¾它并没有一个明确的周期,所以如何你能赋予它一个周期?
当然,你也可以给出介于两者之间的情况,波是可以相当好的定域的,波长也可以相当好定义的,但是这里存在一个不可避免的权衡选择:波的位置越精确,波长就越不精确,反过来也一样。上面的讨论当然适合任何波动现象,特别是对量子力学的波函数。粒子的动量同波长的联系由德布罗意(de Broglie)公式给出:

这样波长的弥散对应动量的弥散,对我们通常的观测有:粒子的位置确定的越精确,它的动量就越不精确。
能量-时间不确定原理
坐标-动量不确定原理

经常和下面的能量-时间不确定原理类比:

的确,在狭义相对论里,能量-时间的形式可以被认为是坐标-动量版本的的一个推论,因为和(或者说)在坐标-时间4-矢量里一同变换,而和(或者说)在能量-动量4-矢量里一同变换。所以在相对论理论里,能量-时间不确定原理应该是坐标-动量不确定原理的一个必要的伴随式。但是我们不是在讨论相对论量子力学。薛定谔方程显然是非相对论的:式中赋予和非常不同的立足点(在同一微分方程中是一次导数,而是二次导数),时间不是一个力学量,它仅是一个参数。我们现在的目的是导出能量-时间不确定原理,并且在推导的过程中使你相信,它实际上是另一个完全不同的概念