圆切线证明方法.doc

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(完好word版)圆切线证明的方法
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切线证明法
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论1 : 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
切线的性质定理的推论2 : 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线的判断定理::从圆外一点能够引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线均分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线,假如已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延伸线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=:DC是⊙O的切线.
思路:要想证明DC是⊙O的切线,只需我们连结OC,证明∠OCD=90o即可.
证明:连结OC,BC.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90o.
∵∠CAB=30o,∴BC=1AB=OB.
2
∵BD=OB,∴BC=1OD.∴∠OCD=90o.
2
∴DC是⊙O的切线.

C
A
O B D
图1
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【评析】必定要分清圆的切线的判断定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不行,不然就不是圆的切线.
【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连结OC,弦AD∥:CD是⊙O的切线.
思路:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线
C
D
,
又要运2
4
A
1
3
B
O
⊙O的切线,只需证明∠
ODC=90o即可.
图2
证明:连结OD.
∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.
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∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.
又∵OB=OD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.
∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90o.∴∠ODC=90o.
∴DC是⊙O的切线.
【例3】如图2,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线相互垂直,:AC均分∠DAB.
思路:利用圆的切线的性质 ——与圆的切线垂直于过切点
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的半径.
证明:连结OC.
∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.
D
C
2 1
3
A B
O
图3
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∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠1=∠2.
∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.
∴AC均分∠DAB.
【评析】已知一条直线是某圆的切线时, 切线的地点一般是确立的. 在解决
相关圆的切线问题时,协助线经常是连结圆心与切点, 获得半径,那么半径垂直
切线.
【例4】如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连结AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠⊙O的切线吗?为何?
解:AC是⊙O的切线.
原因:连结OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵∠COD是△BOC的外角,
∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.
∵∠ACD=2∠B,
∴∠ACD=∠COD.
∵CD⊥AB于D,
∴∠DCO+∠COD=90°.
∴∠DCO+∠ACD=90°.
即OC⊥AC.
∵C为⊙O上的点,
∴AC是⊙O的切线.
【例5】如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB的延伸线上的一点,AE⊥DC交DC的延伸线于点E,且AC均分∠:DE是⊙O的切线.
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证明:连结OC,则OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵AC均分∠EAB,
∴∠EAC=∠CAO=∠ACO,
∴AE∥CO,
又AE⊥DE,
∴CO⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
二、直线与圆的公共点未知时须经过圆心作已知直线的垂直线段,证明此垂线段的长等于半径
【例6】 如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.
证明:连结OD,作OE⊥AC,垂足为E.
∵AB=AC,OB=OC.
∴AO为∠BAC角均分线,∠DAO=∠EAO
∵⊙O与AB相切于点D,
∴∠BDO=∠CEO=90°.∵AO=AO
∴△ADO≌△AEO,因此OE=OD.
∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径.
∴⊙O与AC边相切.
【例7】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC
于E,:EF与⊙O相切.
证明:连结OE,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC,
∴∠3=∠4.
⌒ ⌒
∴BD=DE,∠1=∠2.
又∵OB=OE,OF=OF,
∴△BOF≌△EOF(SAS).
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切,
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明:本题是经过证明三角形全等证明垂直的
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【例8】如图,AD是∠BAC的均分线,P为BC延伸线上一点,且 PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.
证明一:作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的均分线, ∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD, ∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E, ∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
0
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=90.
0
∴∠1+∠EAC=90. 即OA⊥PA.
PA与⊙O相切.
证明二:延伸AD交⊙O于E,连结OA,OE.
AD是∠BAC的均分线,
⌒
BE=CE,
OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
OA=OE,∴∠E=∠1.
PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
0
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明:本题是经过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:DM与⊙O相切.
证明一:连结OD.
∵AB=AC,
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∴∠B=∠C.
∵OB=OD,
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC,

D
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∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二:连结OD,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC,
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD,
C
∴∠1=∠3.
0
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明:,解题中注意充分利用已知及图上已知.
【例10】如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延伸线上.
求证:DC是⊙O的切线
证明:连结OC、BC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
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又∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.
D
∵OB=BD,
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
说明:本题解法颇多,但这种方法较好.
【例12】如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:PC是⊙O的切线.
证明:连结OC
∵OA2=OD·OP,OA=OC,
∴OC2=OD·OP,
OC
OP.
OD
OC
又∵∠1=∠1,
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
CD⊥AB,∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
说明:本题是经过证三角形相像证明垂直的
【例13】如图,ABCD是正方形,G是BC延伸线上一点,AG交BD于E,
交CD于F.
求证:CE与△CFG的外接圆相切.
剖析:本题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得
解.
证明:取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
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∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,
∴∠G=∠4.
AD=CD,DE=DE,∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴∠4=∠1,∠1=∠3.
0
∵∠2+∠3=90,
0
∴∠1+∠2=90.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”
【例14】如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
求证:AC与⊙D相切.
证明一:连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB是⊙D的切线,
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DF=DE.
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∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二:连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB与⊙D相切,
∴DE⊥AB.
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切.
说明:证明一是经过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角均分线的性质证明DF=DE的,这种习题多半与角均分线相关.
【例15】已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.
求证:CD是⊙O的切线.
证明:连结OA,OB,作OE⊥CD于E,延伸DO交CA延伸线于F.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB,
∴△AOF≌△BOD(AAS)
∴OF=OD.
∵∠COD=900,
∴CF=CD,∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
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