必修4三角函数知识点归纳总结.doc

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《三角函数》
【知识网络】
应用
弧长公式
同角三角函数
引诱
应用
计算与化简
的基本关系式
公式
证明恒等式
应用
任意角的看法
角度制与
任意角的
三角函数的
应用
已知三角函
图像和性质
数值求角
弧度制
三角函数
和角公式
应用
倍角公式
应用
差角公式
应用
一、任意角的看法与弧度制
1、将沿x轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
k360
k
Z
g
x
o
Z
轴上角:
k180k
g
y轴上角:
90o
k180o
kZ
g
3、第一象限角:
0kg360
90o
kg360
k
Z
o
k360
o
k360
k
Z
第二象限角:
90
180
g
g
第三象限角:
o
o
180
k360
270
k360
k
Z
g
g
第四象限角:
o
o
270
k360
360
k360
k
Z
g
g
4、区分第一象限角、锐角以及小于
90o的角
第一象限角:
0kg360
90o
kg360
k
Z
锐角:0
90o
小于90o的角:
90o
5、若 为第二象限角,那么 为第几象限角?
2
2
2k
2k
4
k
k
2
2
k0,
,
k
1,5
3,
4
2
4
2
所以
在第一、三象限
2
1
1rad.
6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为
弧度的圆心角,记作
7、角度与弧度的转变:
1

1
180

5718
8、角度与弧度对应表:
180
角度
0
30
45
60
90o
120
135
150180360
弧度
0
2
3
5
6
4
3
2
3
4
2
6
9、弧长与面积计算公式
弧长:l
R;面积:S
1lR
1
R2,注意:这里的
均为弧度制.
2
2
二、任意角的三角函数
P(x,y)
1、正弦:sin
y
x
y
;余弦cos
;正切tan
x
r
r
r
其中x,y
为角
终边上任意点坐标,
r
x2
y2
.
2、三角函数值对应表:
度
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
270
360o
弧度
0
2
3
5
3
2
6
4
3
2
3
4
6
2
sin
0
1
2
3
1
3
2
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
cos
1
3
2
1
0
1
2
3
1
0
1
2
2
2
2
2
2
tan
0
3
1
3
无
3
1
3
0
无
0
3
3
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3、三角函数在各象限中的符号
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口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦 .(简记为“全 stc ”)
sin
tan
cos
第一象限:.x
0,y
0sin
0,cos
0,tan
0,
第二象限:.x
0,y
0
sin
0,cos
0,tan
0,
第三象限:.x
0,y
0
sin
0,cos
0,tan
0,
第四象限:.x
0,y
0
sin
0,cos
0,tan
0,
4、三角函数线
设任意角
的极点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆订交与P(x,y),
过P作x轴的垂线,垂足为
M;过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角
的终边或其反向
延长线交于点T.
y
y
T
P
P
Mo
A
A
x
o
Mx
T
(Ⅰ)
(Ⅱ)
y
T
y
M
o
A
M
A
x
o
x
P
P
T
(Ⅲ)
(Ⅳ)
由四个图看出:
当角
的终边不在坐标轴上时,有向线段
OM
x,MPy,于是有
sin
y
y
MP,
cos
x
x
xOM
r
y
r
1
1
,
tan
y
MP
AT
x
AT.
OMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线
。
5、同角三角函数基本关系式
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sin2 cos2 1
tan
sin
tan
gcot
1
cos
(sin
cos
)2
1
2sin
cos
(sin
cos
)2
1
2sin
cos
(sin
cos
,sin
cos
,sin
?cos,三式之间可以互相表示)
6、引诱公式
n
口诀:奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是
2
中整数n的奇偶性,把看作锐角)
n
n
sin(n
)
(
1)2sin
,n为偶数
(1)
2cos
,n为偶数
n
1
;cos(n
)
n
1
.
2
2
(
1)2
cos
,n为奇数
(1)
2
sin
,n为奇数
①.公式(一):
与
2k,
k
Z
sin(2k
)
sin
;cos(
2k
)cos
;tan(
2k)tan
②.公式(二): 与
sin sin ;cos cos ;tan tan
③.公式(三): 与
sin sin ;cos cos ;tan tan
④.公式(四): 与
sin sin ;cos cos ;tan tan
⑤.公式(五): 与
2
sin cos ;cos sin ;
2 2
⑥.公式(六): 与
2
sin cos ;cos sin ;
2 2
⑦.公式(七): 与3
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3
cos
;cos
3
;
sin
sin
2
2
⑧.公式(八):
与3
2
3
cos
;cos
3
;
sin
sin
2
2
三、三角函数的图像与性质
1、将函数 y sinx的图象上所有的点,向左(右)平移 个单位长度,获取函数
y sinx 的图象;再将函数 y sinx 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到
原来的1倍(纵坐标不变),获取函数y sin x 的图象;再将函数 y sin x
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A倍(横坐标不变),获取函数
y Asin x 的图象。
2、函数yAsin
x
A
0,
0的性质:
①振幅:A;②周期:
2
1
;④相位:x
;⑤初相:。
T
;③频率:f
T
2
3、周期函数:一般地,关于函数
f
x,若是存在一个非零常数
T,使得定义域内的每一
个x值,都满足f
x
Tf
x,那么函数fx
就叫做周期函数,T叫做该函数的周期.
4、⑴y
Asin(
x
)
k
2
对称轴:令
x
k
,得x
k
2
对称中心:
x
k
,(k
,0)(k
Z);
,得x
⑵y
Acos(
x
)
对称轴:令
x
k
,得x
k
;
k
2
k
2
对称中心:x
k
,得x
,(
,0)(kZ);
2
⑶周期公式:
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①函数yAsin(x)及yAcos(x
2
)的周期T

(A、ω、 为常数,且 A
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0).
②函数y Atan x 的周期T (A、ω、 为常数,且 A≠0).
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5、三角函数的图像与性质表格
函
性 数 y sinx
质
图
像
定
义
R
域
值
1,1
域
当x
2k
k
Z
时,
2
最
ymax
1;
值
2k
k
Z
当x
时,
2
ymin
1.
周
期
2
性
奇
偶
奇函数
性
在
2k
,
2k
2
单kZ上是增函数;
调
性
在
2k,3
2k
2
2
k
Z上是减函数.

y cosx
R
1,1
当x2kkZ时,
ymax 1;当x 2k
k Z时,ymin 1.
2
偶函数
在 2k ,2k k Z
上是增函数;
在2k,2k k Z
上是减函数.
对称中心

y tanx
xx k,kZ2
R
既无最大值也无最小值
奇函数
在 k ,k
2 2
Z上是增函数.
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对
对称中心
k,0
k
Z
,0
k
Z
称
k
2
性
对称轴x
k
k
Z
2
对称轴x
k
k
Z

对称中心
k,0kZ
2
无对称轴
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6. 五点法作 y Asin( x )的简图,设t x ,取 0、 、 、3 、2 来求相
2 2
应x的值以及对应的 y值再描点作图。
7. y Asin( x )的的图像
函数的变换:
(1)函数的平移变换
①y f(x) y f(x a)(a 0)将y f(x)图像沿x轴向左(右)平移 a个单位
(左加右减)
②y f(x) y f(x) b(b 0)将y f(x)图像沿y轴向上(下)平移 b个单位
(上加下减)
(2)函数的伸缩变换:
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1

①y f(x) y f(wx)(w 0)将y f(x)图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的
倍(w 1缩短, 0 w 1伸长)
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w
②y f(x) y Af(x)(A 0)将y f(x)图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来
的A倍(A1伸长,0A1缩短)(3)函数的对称变换:
①
y
f(x)
y
f(x)
)
将y
f(x)图像绕
y
轴翻折
°(整体翻折)
180
(对三角函数来说:图像关于
x轴对称)
②
y
f(x)
y
f(x)
将y
f(x)图像绕x轴翻折180°(整体翻折)
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(对三角函数来说:图像关于

y轴对称)
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③y

f(x)

y f(x)

将y

f(x)

图像在

y轴右侧保留,并把右侧图像绕

y轴翻
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折到左侧(偶函数局部翻折)
④y f(x) y f(x)保留y f(x)在x轴上方图像,x轴下方图像绕 x轴翻折上
去(局部翻动)
四、三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
(1)sin(
)
sin
cos
sin
cos
(2)sin(
)
sin
cos
sin
cos
(3)cos(
)
cos
cos
sin
sin
(4)cos(
)
cos
cos
sin
sin
(5)tan(
)
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
(6)tan(
)
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
(7)
asin
bcos
=
a2
b2sin(
)(其中,辅助角
所在象限由点(a,b)所在的象限
决定,
sin
b
b2
,cos
a2
a
,tan
b
,该法也叫合一变形).
a2
b2
a
(8)
1
tan
tan(
4
)
1
tan
tan(
)
1
tan
1
tan
4
2.
二倍角公式
(1)sin2a
2sinacosa
(2)cos2a
cos2a
sin2a
12sin2a2cos2a
1
tan2a
2tana
1tan2a
(3)
降幂公式:
cos2a
1cos2a
(2)sin2a
1cos2a
(1)
2
2
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升幂公式
(1)1
cos
2cos2
(2)1
cos
2sin2
2
2
(3)1
sin
(sin
cos
)2
(4)1
sin2
cos2
2
2
(5)sin
2sin
cos
2
2
5. 半角公式(符号的选择由 所在的象限确定)
2
sina
1
cosa,
a
1cosa
cos
,
(1)
2
2
(2)2
2
a
1
cosa
sina
1cosa
tan
(3)
2
1
cosa
1cosa
sina
:
2tan
1
tan2
(1)sin
2,
(2)cos
2
,
1
tan2
1
tan2
2
2
2tan
(3)tan
2.
1
tan2
2
三角变换:
三角变换是运算化简过程中运用很多的变换,提高三角变换能力,要学会创立条件,灵便运用三角公式,掌握运算、化简的方法技术。
1)角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作增加、删除角的恒等变形
2)函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:
asin
bcos
a
2
b
2
sin(
)其中cos
a
,sin
b
a2
b2
a2
b2
,比
y
sinx
3cosx
12
(3)2(
1
sinx
3
cosx)
如:
12
(3)2
12
(3)2
2(
1
3
2(sinxcos
cosxsin
)2sin(x
)
sinx
cosx)
2
2
3
3
3
(3)注意“凑角”运用:
,
,
1
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比方:已知、(
3,),sin(
)
3
,sin(
)
12
,则cos(
)?
4
5
4
13
4
(4)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时需将常数转变成三角函数,特
别是常数“1”可转变成“sin2
cos2
”
5)幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂办理,有时需要升幂比方:
cosa常用升幂化为有理式。
6)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
7)结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移
项,或变乘为除,或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、 分解因式、配方等。
8)消元法:若是所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法
9)思路变换:若是一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,经过解析比较去
选择更合适、简捷的方法去解题目。
(10)利用方程思想解三角函数。如关于以下三个式子:
sinacosa,sinacosa
sina cosa,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。
函数的最值(几种常有的函数及其最值的求法):
①y
asinx
b(或acosxb)型:利用三角函数的值域,须注意对字母的谈论
②y
asinx
bcosx型:引进辅助角化成y
a2
b2sin(x
)再利用有界性
③y
asin2x
bsinx
c型:配方后求二次函数的最值,应注意
sinx
1的拘束
④y
asinx
b型:反解出sinx,化归为sinx
1解决
csinx
d
⑥y
a(sinx
cosx)
bsinxcosxc型:常用到换元法:t
sinx
cosx,但须
注意t的取值范围:
t2
。
三角形中常用的关系:
sinA
sin(BC),
cosA
cos(B
C),
A
B
C
sin
cos
,
2
2
sin2A
sin2(BC),
cos2A
cos2(B
C)
10.
常有数据:sin15cos75
62
,sin75cos15
62
,
4
4
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tan15 2 3,tan75 2 3,
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