高一数学必修1第一章知识点总结.pdf

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高一数学必修1第一章知识点总结
一、集合
(一)集合有关概念
1、集合的含义:练习1:下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家
C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2、元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素,则a属于A,记作a____A
(2)如果a不是集合A的元素,则a不属于A,记作a_____A
3、常用数集
自然数集______,正整数集______,整数集______,有理数集______,实数集______。
练习2:用适当的符号填空
1
(1)5______N,(2)___Q,____Q
2
(3)3______x|x2,1,2____x,y|yx1

(4)25_______x|x23,
4、集合的中元素的三个特性
(1)元素的______(2)元素的______(3)元素的______
练习3:若集合Ma,b,c中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()

练习4:下面有四个命题:
(1)集合N中最小的数是1;(2)若a不属于N,则a属于N;
(3)若aN,bN,则ab的最小值为2;(4)x212x的解可表示为1,1;
其中正确命题的个数为()

5、集合常用的表示方法:
1)_______:{a,b,c……}
2)________:集合中的元素的将公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x>2},{x|x-3>2}
3)__________:例:{不是直角三角形的三角形};4)Venn图
练习5:集合M={0,2,3,7},P={x|x=ab,a、b∈M,a≠b},用列举法表示,则P=___________.
练习6:
集合{x|f(x)0}{x|f(x)0}{x|yf(x)}{y|yf(x)}({x,y)|yf(x)}
含义
1
集合函数不过关,曾头马上帮你忙!
8
练习7:已知集合AxN|N,试用列举法表示集合A=____
6x
xy2
练习8:方程组的解集是()
xy4
(A)x3或1(B)(3,1)(C)3,1(D)(3,1)
(二)集合间的基本关系
1.“包含”关系:子集(AB):
注:有两种可能:
B(A)
①任何一个集合是它本身的子集,即:________
2.“相等”关系:________,如图所示:
B(A)
3.“真包含”关系:________,如图所示:
练习10:能满足关系{a,b}M{a,b,c,d,e}的集合M的个数是

,记为Φ
规定:空集是任何集合的_______,空集是任何非空集合的_______。
练习11:下列四个集合中,是空集的是()
A.{x|x33}B.{(x,y)|y2x2,x,yR}
C.{x|x20}D.{x|x2x10,xR}
,则其子集的个数为_______,真子集个数_________。
练习12:写出集合{0,1,2}的所有子集:___________________________
(三)集合的运算
1、交集,即AB=____________,请用Venn图表示:
2、并集,即AB=____________,请用Venn图表示:
3、补集,即CA=_____________,请用Venn图表示:
u
2
集合函数不过关,曾头马上帮你忙!
练习13:若集合A={1,3,x},且A∪B={1,3,x},则满足条件的实数x的个数有()
(A)3个(B)2个(C)1个(D)4个
练习14:表示右图中阴影部分的集合是()
(A)A∪B(B)A∩B
(C)C(AUB)(D)C(AB)
UU
练习15:已知集合Mx|1x2,Px|xt,若MP,则实数t
应满足的条件是
4、相关的运算性质:
交集(1)AA=_____;(2)A______(3)AB_____A;(4)AB_____B
并集(1)AA____A;(2)A_____;(3)A____AB;(4)B__AB
补集(1)A(CA)______;(2)A(CA)______
uu
常用重(1)若AB,BC,则A____C
要结论(2)ABA______;ABA________
练习16:某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小
组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组
的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有
_____________人。
练习17:全集UR,集合A={y|y3x2且2x1},B={y|2y4y2}。
(1)求C(AB);
U
(2)若集合C{y|2ya0},满足BCC,求实数a的取值范围。
二、函数的有关概念
1、函数的概念:设A、B是__________,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中
的任意一个数x,在集合B中都有__________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集
:作y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,_____________叫做函数的定义域;____________叫做函数值,
____________叫做函数的值域.
函数的三要素:_________、__________、____________
练习18:设M{x|2x2},N{y|0y2},给出下列4个图形,其中能表示
以M为定义域,N为值域的函数关系是()
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练习19:设一个函数的解析式f(x)2x1,若它的值域为1,2,3,则该函数的定义
域为
2、定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母0;(2)偶次方根的被开方数0;
(3)对数式的真数必须>0;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(6)式子a0中,a0;(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义
练习20:已知函数f(x)1x2x21的定义域是()
(A)[-1,1](B){-1,1}(C)(-1,1)(D)(,1][1,)
1
练习21:已知函数f(x)的定义域为M,g(x)ln(1x)的定义域为N,则
1x
MN()
A.xx1B.xx1C.x1x1D.
练习22:函数f(x)x24x1的值域是;当x[3,3]时,函数的值域为,
函数的最大值为,最小值为;当x(1,2]时,函数的值域为。
3、相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
练习23:下列各组函数中,表示同一函数的是()
y|x|,yx2yx2x2,yx24
A.B.
x3
y1,y2
y|x|,y(x)
.

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

一般地,设A、B是__________,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意
一个元素x,在集合B中都有________的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A
到集合B的一个映。射记作f:A→B
练习24:下列集合A到集合B的对应f是映的是射()
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R,BN*,f:x|x|
{0,1},B{1,0,1},f:xx
1
Z,BQ,f:x
x
{1,0,1},B{1,0,1},f:xx2
练习25:已知点(x,y)在对应关系f作用下对应的元素是(x2y,2xy),则(3,1)在f作
用下对应的元素是.

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
x2,x1
练习26:已知函数f(x),则f[f(2)]=;若f(x)0,则x
x2,x1
三、函数的性质
(局部性质)
(1)增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两
个自变量x,x,当_______时,都有_______,那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D
12
称为y=f(x)的单调增区间。
(2)减函数:如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,当______时,都有_______,
12
那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。
练习27:函数f(x)mx24x1,在(,2)内递减,在(2,)内递增,则f(1)的值
为()
A..2
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
2、函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
(注意x的取值范围)
○2利用图象求函数的最大(小)值
○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b
处有__________;
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b
处有__________;
练面内,二次函数f(x)图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0)
(1)求f(x)的函数解析式;(2)求f(x)在(0,4]上的最值;
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(3)求f(x)在[a,a2](a1)上的最值;
1
练习29:设a1,函数f(x)logx在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a
a2
()

(3)图象的特点:如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在
这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是_______,减函数
的图象从左到右是________。
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法(即用定义法证明单调性):
○1_____________;○2______________(通常是因式分解和配方);
○3_______________;○4_______________;
(B)图象法(从图象上看升降)
注意:单调区间不能随便并起来。
x
练习31:求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值和最小值。
x1
4、函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有________,那么f(x)
就叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有_________,那么f(x)
就叫做奇函数.
|x|
练习32:函数y是()
1x2
A、奇函数B、偶函数C、既是奇函数,又是偶函数D、既不是奇函数,也不是偶函数
练习33:下列结论中:不正确的个数是()
(1)若函数f(x)中,f(0)f(5),则f(x)在[0,5]上是增函数;
(2)若函数f(x)在[-1,1]和(1,3]上是减函数,则f(x)在[-1,3]上是减函数;
f(x)
(3)定义在R上的函数f(x)满足1,则f(x)是偶函数;
f(x)
(4)函数f(x)在[-1,1]上满足:f(1)f(1),则f(x)是奇函数;
(5)若函数f(x)在[-2,3]上有f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数。

(3)奇偶函数的性质:偶函数的图象关于______对称;奇函数的图象关于_______对称.
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则单调性其_________
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偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性_________
若奇函数在x=0处有定义,则f(0)=________
练习34:奇函数f(x)在区间[a,b]上为减函数,且有最小值2,则它在区间[b,a]上()
,有最大值,有最大值2
,有最小值,有最小值2
练习35:f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x2)f(x),x[0,1]时,f(x)x1,
333
则f()()A.
222
P(x)axnaxn1a
(4)多项式函数nn10的奇偶性
P(x)P(x)
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
P(x)P(x)
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
练习36:设f(x)ax3bx1,且f(2)0,求f(2)的值
5、函数奇偶性的判定方法
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1_______________________;○2___________________________;
○3____________________________;
(2)利用定理,或借助函数的图象判定
6、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出
它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法:练习37:已知f(x1)x24x1,求f(x)的解析式。
2)待定系数法:练习38:已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,,f(x+1)-f(x)=2x,求函数
f(x)的解析式。
3)换元法:练习39:已知f(x1)x2x,求f(x)。
4)利用奇偶性:练习40:已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)ex3x;
则当x0时f(x)=.
易错点:
1、属于跟包含的关系:
属于是指_______与_________的关系;包含是指_______与_________的关系
练习41:在以下五个写法中:①{0}{0,1,2};②φ{0};③{0,1,2}{1,2,0};
④0φ;⑤0∩φ=φ,写法正确的个数有()
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2、在应用条件A∪B=BA∩B=AAB时,易忽略A是空集Φ的情况:
练习42:设A={-4,1},B={x|tx30},ABA,则t的值为_________
练习43:已知集合A={x|2a-1≤x≤a+3},B={x|x<-1或x5},若A∩B=Φ,求a的取
值范围。
3、描述法表示的集合的含义:
练习44:已知集合M={y|y=x26x7},N={x|y=x1},则集合M与N的关系是________
11
练习45:设x=,y=-3,A={x|x=m-n3,mZ,nZ},那么x,y与集合A的关
232
系是()
A,yA,yA,yA,yA
4、集合的“交”“并”“补”运算中,端点是否可取问题:
练习46:已知集合A=x1x6,Bx2x9,(1)分别求C(AB),(CB)A;
RR
(2)已知Cxaxa1,若CBB,求实数a的取值.
5、求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.
练习47:定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(1a)f(12a)0,求a
的取值范围。
6、判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.
练习48:判断函数的奇偶性:f(x)12x2x1
7、根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值,作差,判正负.)
1
练习49:证明:函数f(x)在(,1)上为增函数.
(x1)2
8、单调区间是否可并
1
练习50:函数y的单调递增区间为_______________
x
练习51:已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x(x2)
(1)求函数f(x)的解析式,
(2)求函数f(x)的增区间减区间和.
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