数学必修五第三章不等式知识点总结.pdf

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一、知识点总结:
1、比较实数大小的依据:①作差:ab0ab;ab0ab;ab0ab;变形的方向是
化成几个完全平方的形式或一些容易判断符号的因式积的形式,变形时常用因式分解、配方、通分、分子(或
分母)有理化等方法,注意完全平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。②作商:
aaa
a0,b0时,1ab,1ab,1ab;
bbb
aaa
a0,b0时,1ab,1ab,1ab
bbb
2、不等式的性质
性质具体名称性质内容注意
1对称性abba
ab,bcac
2传递性
ab,bcac等号传不过来
3可加性abacbc
ab,c0acbc
4可乘性c的符号
ab,c0acbc
5同向可加性ab,cdacbd
6同向同正可乘性ab0,cd0acbd
7可乘方性ab0anbn(nN*)同正
8可开方性ab0nanb(nN*,n2)同正
11
9倒数性质ab,ab0ab0
ab
3、一元二次不等式的解法步骤:①将不等式变形,使一端为0且二次项的系数大于0;②计算相应
的判别式;③当0时,求出相应的一元二次方程的根;④根据对应二次函数的图象,写出不等式
的解集。(大于0取两边,小于0取中间).含参数的不等式如ax2bxc0(a0)解题时需根据参
数的取值范围依次进行分类讨论:①二次项系数的正负;②方程ax2bxc0(a0)中与0的关
系;③方程ax2bxc0(a0)两根的大小。
4、一元二次方程根的分布:一般借助二次函数的图象加以分析,准确找到限制根的分布的等价条
件,常常用以下几个关键点去限制:(1)判别式;(2)对称轴;(3)根所在区间端点函数的符值
号。设x,x是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实根,则x,x的分布情况列表如下:
1212
(画出函数图象并在理解的基础上记忆)
根的分布二次函数的图象等价条件
xkxf(k)0
12
f(k)0
xxk
12b
k
2a
(x,x均小于k时0)
120
f(k)0
kxx
12b
k
2a
(x,x均大于k时0)
120
f(k)0
1
kxxkf(k)0
11222
b
kk
(x,x(k,k)时0)12a2
1212
0
f(k)0
1
kxkxkf(k)0
112232
f(k)0
3
f(k)f(k)0或
12
bkk
x,x(xx)中有且仅有f(k)0,k12或
121211
一个在(k,k)内2a2
12
kkb
f(k)0,12k
222a2
5、一元高次不等式f(x)0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解,其步骤如下:①将f(x)
最高次项的系数化为正数;②将f(x)分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积;③将每一个根
标在数轴上,从右上方向下依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶重根穿而不过,奇重根既穿
又过);④根据曲线显现出的符号变化规律,写出不等式的解集。
6、简单的线性规划问题的几个概念:①线性约束条件:由关于x,y的二元一次不等式组成的不等式
组是对x,y的线性约束条件;②目标函数:要求最值的关于x,y的解析式,如:zx2y2,
b
y
yybnybnn
z(xa)2(yb)2,z2xy,z,z,z•,
a
xxamxamx
m
xybxay(ab)y(ab)
z1其中,后五个关于x,y的一次解析式就叫线性目标函
xaxaxa
数;③满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域(包括边界时
用实线表示,不包括边界时用虚线表示);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解;
④在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。在确定线性约
束条件和线性目标函数的前提下用图解法来求最优解的步骤可以概括为:画、移、求、答。一般
地,线性目标函数的最优解在可行域的顶点或边界上取得。
7、①重要不等式:对于任意实数,有a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立。
abab
②基本不等式:如果a,bR,那么ab,当且仅当ab时,等号成立。其中,叫做
22
正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数。从均值、等差数列与等比数列中项和几何
意义(半径大于等于半弦长)三个角度理解此不等式。
a2b2ab2
③扩展:平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数,即:ab
11
22
ab
注意:以上不等式使用的条件是:一正、二定、三相等。即一正(a,bR),二定(ab为定值

或者ab为定值),三相等(当且仅当ab时,取得等号)。
8、常用的不等式变形有:④a2b22ab2ab(a,bR);
1a2b2abab
⑤a2b2(ab)2,(ab)24ab,()2;⑥当ab0时,2,当
222ba
ab
ab0时,2;⑦a2b2c2abbcac
ba