数学思想方法考试内容.doc

第一章:
1、波利亚开起数学思想方法研究的先河
2、克莱因的《古今数学思想》是世界经典的数学思想方法教科书
3、数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法
4、数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问
5、微观的数学方法有以下四个层次:
第一,基本的和重大的数学思想方法。
第二,与一般科学方法相应的数学方法。
第三,数学中的特有的方法。
第四,中学数学中的解题技巧。
6、数学思想,人们常用它来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果.
第三章:
1、数学思想方法的三次重要突破:从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机数学
2、古代算术的主要研究的内容是正整数、零和正分数的性质与四则运算
3、算术的局限性促使新的数学分支——代数的产生
4、丢番图的代数是从早期的文字代数发展到以后的符号代数的中间环节,丢番图的《算术》是数学史上的一个里程碑
5、笛卡尔提出和使用的许多符号基本上现在一直在沿用
6、常量数学是研究不变的数量(即常量)和固定的图形
7、变量数学产生的数学基础应该是解析几何,标志是微积分
8、变量数学产生的意义:
(1)变量数学的产生,为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具
(2)变量数学的产生,促进数学自身的发展与严密
(3)变量数学的产生,使辩证法进入数学
9、随机数学产生的意义
随机数学产生的意义在于下面几个方面:
(1)就应用而言,对社会的发展具有促进作用
(2)就认识论而言,表明人们对偶然性与必然性之间的辩证关系有了进一步的认识。
(3)就方法论而言,是从局部到总体的归纳方法。
10、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想,并且比较 它们的区别。 
答:算术解题方法的基本思想:首先要围绕所求的数量, 收集和整理各种已知的数据,并依据问题的条件列出关于这些具 体数据的算式,然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是:首先依据问题的条件组成内含 已知数和未知数的代数式,并按等量关系列出方程,然后通过对 方程进行恒等变换求出未知数的值。 
它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量,而代数 解题允许未知的量参与运算;算术方法的关键之处是列算式,而 代数方法的关键之处是列方程。
11、 比较决定性现象和随机性现象的特点,简单叙说确定数 学的局限。 
答:人们常常遇到两类截然不同的现象,一类是决定性 现象,另一类是随机现象。决定性现象的特点是:在一定的条 件下,其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系,所以事先可以预知结果如何。 
随机现象的特点是:在一定的条件下,可能发生某种结果, 也可能不发生某种结果。对于这类现象,由于条件和结果之间不 存在必然性联系。 
在数学学科中,人们常常把研究决定性现象数量规律的那些 数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性 现象的运动和变化过程,从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系,因此不能用确定数学来加以定量 描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴 涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。
第九章:
1、所谓公理化方法,就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发,运用逻辑规则推导出其余命题或定理,把一门数学建立成为演绎系统的一种方法
2、公理化方法的历史发展大致可划分为产生、完善和形式化三个阶段.
3、亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统.
4、《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河,然而它的公理系统还有许多不够完善的地方,其主要表现在以下几个方面:
(1) 有些定义使用了一些还未确定涵义的概念;
(2) 有些定义是多余的;
(3) 有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观;
(4) 有的公设(即平行公设)是否可用其它公设来证明或代替.
5、如何引进基本概念和确立一组公理是公理化方法的基本内容
6、公理的选取和设置必须具备三个基本要求:相容性(或称无矛盾性、协调性)、2. 独立性3. 完备性.
7、如何运用公理化方法将一门数学整理组织成一个演绎系统呢?
一般来说,有三个步骤:
第一, 要积累大量的经验、数据和资料,对这些经验资料进行分析归纳,使之系统化,最后上升为理论.
第二,要建立一门数学的演绎系统,就要在第一步的基础上,从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理,然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题.
第三,在确定了基本概念和公理之后,就要由此出发,经过演绎推理,将一门数学展开成一个严格的理论系统.