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第一章复变函数
§ 复数与复数运算
§ 复变函数
§ 导数
§ 解析函数
§ 平面标量场
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第一章复变函数 3
1、定义
§ 解析函数
若函数f(z)在z0点及其邻域内处处可导,则称f(z)在z0点解析;又若f(z)在区域B上的每一点解析,则称f(z)在区域B上是解析函数。
(2) 若f(z)在z0点的不解析,则称该点为f(z)的奇点。
(1) 解析与可导的关系:
函数f(z)在某点解析,则必在该点可导,反之不然。
函数在区域B内的解析与在B内处处可导完全等价。
(提示:点z0上可导,并不意味在z0的邻域内处处可导,因此函数在该点不一定解析。)
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性质1:设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B上解析,则u=C1,v=C2 (其中C1, C2为常数)是B上的两组正交曲线族。
2、主要性质
证明:f(z)在区域内解析,必满足柯西-黎曼条件
上式两边自乘,得到
其中g (g=u, v)为曲线g=,所以u· v=0表示相互正交的曲线族。
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红: 实部
兰: 虚部
性质2:若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B上的解析函数,则u(x,y)和v(x,y)均为该区域内的调和函数。
证明:由柯西-黎曼条件:
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前一式对x求导,后一式对y求导,得
方程(A)和(B)称为二维拉普拉斯方程,满足Laplace方程的二元实函数u和v称为调和函数。一个解析函数的实部和虚部又叫做共轭调和函数。
其中称为拉普拉斯算符。同理可得
(A)
(B)
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说明:
解析函数的实部和虚部不独立,通过C-R条件联系着。
若给定一个二元调和函数,假定它是某个解析函数的实部(或虚部),利用C-R条件可求出相应的虚部(或实部),并确定此解析函数(仅差一个常数因子)。
调和函数:若二元实函数H(x,y)在区域B上具有连续的二阶偏导数,且满足拉普拉斯方程2H=0,则称H(x,y)是区域B上的调和函数。
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3、给定实部或虚部,求解析函数
已知二元调和函数u(x,y)是解析函数f(z)的实部,求相应的虚部v(x,y)。首先虚部的全微分为
容易验证上式是全微分,因为
C-R条件
性质2
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因此可以求出解析函数的虚部
(1)曲线积分法:选取特定积分路径,将上式积出。
(2)凑全微分显式法:将积分号里面凑成全微分显式。
(3)不定积分法:
求解上述积分的具体办法有:
先对x(或y)求部分积分,引入关于y(或x)的待定函数,再用C-R条件确定该函数。
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例1. 已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2, 求虚部和这个解析函数。
(1)曲线积分法:
解:因为,所以u(x,y)是调和函数。
C-R条件
上式与积分路径无关,因此选取特殊路径,如图:
于是dv=2ydx+2xdy,这是一个全微分,直接积分得
其中C=v(0,0)为常数
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(2)凑全微分法:
O
(x,0)
y
x
(x,y)
于是得
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