八年级数学上册《分式》知识点归纳.docx

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式
一、概念:
定义1:整式A除以整式B,可以表示成
A的形式。
B
如果除式B中含有分母,那么称A为分式。(对于任
........
B
何一个分式,分母不为
0。如果除式B中含有分母,那
么这个就是分式, 对于任何一个分式, 分母不为 0。分
式:分母中含有字母。整式:分母中没有字母。而代
数式则包含分式和整式。 )
定义2:把一个分式的分子和分母的公因式约去, 这种
变形称为分式的约分。
定义3:分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。(化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式。)
定义4:化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5:分母中含有未知数的方程叫做分式方程
定义6:在将分式方程变形为整式方程时, 方程两边同

(用符号语言表示:a
÷c
=a
﹒d=ad)
b
d
b
cbc
分式乘除法的运算步骤:
当分式的分子与分母都是单项式时:(1)乘法运算步骤是:①用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;②把分式积中的
分子与分母分别写成分子与分母的分因式
与另一个因式的乘积形式,如果分子 (或分
母)的符号是负号,应把负号提到分式的前面;③约分。(2)除法的运算步骤是:把除
式中的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘,其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式,①先分解因式;②如果分子与分母有公因式,先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时,应把负号提到分式的前面.
最后的计算结果必须是最简分式或整式 .
3、同分母分式加减法则是:同分母的分式相加
乘一个含有未知数的整式,并约去了分母,有时可能
产生不适合原分式方程的解(或根) ,这种解通常称为
增根。

减。分母不变,把分子相加减。(表达式为:
±b=a
b)
c
c

a
c
二、基本性质:
分式的基本性质:分式的分子与分母都 .乘以(或除以)
同一个不等于零 的整式,分式的值不变。
. ....
三、运算法则:
1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相
乘的积作为积的分子 ,把分母相乘的积作为积
的分母;(用符号语言表示: a﹒c=ac)bdbd
2、分式的除法的法则:两个分式相除 ,把除式
的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 .

4、异分母的分式相加减法则是:先通分,化为
同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法
法则进行计算。(表达式为:
a±c=ad±
bc=adbc)
bdbd
dbbd
怎样确定最简公分母:我们在进行异分母的分式加减时,最先要考虑的是找到几个异分母的最简公分母,然后进行通分。怎样确定最简公分母呢?
(1)、算式中只有一项是分式, 最简公分母就是这个
分式的分母。如算式a1
1
的最简公分母就是
a
1
a 1。
(2)、算式中有几个分式相加减,分母互相反数,
最 公分母可取其中任何一个分母。如算式
a
b3b
的最公分母可以是
a–2b,也
a 2b 2b a a 2b
可以是2b–a。
(3)、当算式中的几个分母都是式,最公分
母取系数的最小公倍数与所有字母的最高次的
乘。如算式
1
2
3
2axy
3bx2
4xy2的最公分母就是
12abx2y2。
4)、当算式中分式的几个分母都是多式,先把所有分母行因式分解,最公分母是每个因式
的 最 高 次 的 乘 。 如 算 式
1
3x
的最公分母是
4(x+y)
4x2
4y2
2x2
4xy2y2
(x–y)2
(5)、当算式中分式的分子与分母都有公因式, 可
以先把个分式分,再根据情况确定最公分母。
如算
x
2
x2
2x
,如果直接通分,得有
x
2
x2
4
点繁;若把x2
2x的分子分母分解因式成
x2
4
x(x2)
,再化
x
行算就得多,
(x2)(x2)
x
2
其最公分母是
x–2。
解方程程中易犯的: 1、解方程忘; 2、
去分母忘加括号; 3、去分母漏乘不含分母的 .
四、相关知:
1、分式有意和无意的条件:
分式A有意的条件是: B≠0;分式A无意的条件
B B
是:B=0;
2、分式的 A=0的条件:A=0,并且B≠0,两者必
B
同足。
3、分式的加减运算的关是通分,通分的关是确定

几个分式的公分母。
4、分式的乘方:分式乘方,把分子、分母各自乘方。
5、分式的符号法:
A=
A=
A=
A
B
B
B
B
6、解分式方程的一般步是: (1)化分式方程整式
方程;(2)解整式方程;(3)根;
7、注意:分和运算的果必是最分式或整式。
一、填空(每小 3分,共30分)
x 3

x2
有意,
x的
6x9
.
6x2y3
=
:
2z
.
9xy
3
.分式方程
x
2
的解是
.
x1
3
4
.化:
3x2
xy
2=
.
2
6xyy
9x
1
1
5
.已知a+b=2,ab=3,a
b=
.
6
2y
1
x
2y
.xy
,xy
,x2
y2的最公分母
是
.
7
.已知
1
2
1
的等于0,m的
2
1m
m
1m1
是
.
8
.写出一个根1
的分式方
程:
.
1
1
1
,b
a=

b
ab
.
a
a
b
:
①11
1
2
4
3
9
,②2
,③3
4
,⋯⋯
2
2
3
3
4
根据式中所 含的 律可知第 n 个式子
是 .
二、选择题(每小题 4分,共20分)
,其中运算结果正确的有
【 】
①
1
1
2
;②
a2
3
a
3
;
a
b
a
b
a2
③
a2
b2
a
b;④
a
3
1
;
a
b
a2
9
a3

B
.1个

个

个
a
b

4a
2中的a与b的值都扩大为原来
的2倍,则这个分式的值将【
】

2倍
B.
分式的值不变
C.
缩小为原来的1
D
.缩小为原来的
1
2
4
1
1
–b=2ab,则a
b的值为【
】
.–1
C.–
2
2
.几个同学包租一辆面包车去旅游,面包车的租价为180元,后来又增加了两名同学,租车价不变,结

的同学共有 x人,则根据题意可列方程【 】
180
180
3
B
.
180
180
3
A.
x
2
x2
x
x
180
180
D
180
180
2
C.
x
=2
.
x3
x
x
3
,且分式
2x
2
x2
的值为整数,则
1
x可取的值有【
】

.2个C
.
三、(第16小题6
分,第
17、18
两小题每题
8分,
共计22分)
:
1
2
1
2
a
1
a1
x 2 1 1
:
x 3 2 3 x

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
2
3
4
5
1
3
4
5
2
3
4
2
2
四、(每小题
9分,共18分)
3x
2x
x21
,后求值:(
)
,其
x1
x1
x
中x= 5 5.
,某乡镇决定对一段公
40
天完成;如果由乙工程队先单独做 10天,那么剩下的
工程还需要两队合做 20天才能完成.
1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数;
2)、(每小题10分,共10分)
,第一堆棋子比第二堆棋子的数目多,
从第一堆棋子中拿出若干粒到第二堆,使第二堆的棋子数翻倍,然后从第二堆中拿出若干粒到第一堆,使第一堆的棋子数翻倍,最后从第一堆中再拿出若干粒到第二堆,,求原来这两堆棋子的数目.
期中检测题
一、选择题:
( )

3a
B
.
a2a

4
x
D
.3
2
a
a
+4<0的解集在数轴上表示如图
,那么
a的值是
(
)
>0
B
.a<0
=-2
D
.a=2

x
8
无解,那么m的取值范围是
x
m
>8B
.m≥<≤8

x
5的解集是
(
)
3

5
B
.x
5
3
3

15
D
.
x
15
,是因式分解的是
(
)
A.(y-1)(y+1)=y2-1
18、计算: xy2 1 xy(x y) 1
C.(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)

4x4(x2)2

(
)
-y
B
.x2+1
C.
2-4
x
+1
D
.
2+2x
+
2
x
x
yy
:
(
)

B
.x
y
2
2

D
.2a
2a
5

(
)

B
.
2x
15b
6x
1

1
D
.5a
3x
3
a

4
1的解是
(
)
x1
=1
=3
=5
=7

500m,画在图上的距离是
25cm,
若在此图上量得A、B两地相距为
40cm,则A、B两地
的实际距离是(
)

.8000m
C
.
二、填空题(本题共
10小题,每小题
3分,共30分)
11
.
不
等式
6x<11x
成
立的
条件
是
。
:25a2bc
___________。
15ab
:2a2
4a
。

x4yx4y,则k
。
+y=6,xy=4,则x2y+xy2的值为
。

1中,当x______时,没意义;当x______
2
x
时,值为零。

。
2x
3

等
式
组
1
的
解
集
x
1
3
是
。
a=,宽 b=60cm,则a∶b
= 。
4cm,5cm,Xcm的三条线段可围成一

个三角形,那么
x的取值范围是
三、计算或化简(本题共
4小题,每小题
5分,共20
分)
21、x2yxy2
22
、
3x
x2y
2xy
2x
y
y2x
23、
b
b2
b24、
2x
x
x2
1
a2
6a9a3
x1x1
x
四、解答题:(本题共5
小题,共35分)
25、解不等式,并把解集表示在数轴上
.
2x
31
4x
<
x
1
①
26、(4分)解不等式组:
8
x
≤
3x
8
②
4
27、(12分)把下列各式分解因式:
⑴、3a2
6a;⑵、x5
x3
;⑶、-4a
3+16a2b-16ab2
28、(5分)先化简,再求值:
a2
a1
a2
4,其中a=-1.
4a4
2a
2
29、(5分)解分式方程:
1
2x
1
x
2
3
2
x
30、(5分)某实验中学为初二住宿的男学生安排宿舍。如果每间住4人,那么有20人无法安排;如果每间住8人,那么有一间宿舍不空也不满。求宿舍间数和住宿
男学生人数。
五、计算或证明:(本题共 3小题,共 15分)
31、(10分)利用分解因式计算:
①.19 101299219
②.20062 2 2006 1006 10062
32、(5分)证明58 1能被20~30之间的两个整数整
除。
参考答案
1、x≠3;2、2xy;3、x=2;4、
x
;5、2;6、
3z
3x
y
3
x2–y2;7、2;
8、如:
2
n
n2
1;9、–1;10、n
n
1
;
x
1
n1
11、A;12、C;13、C;14、A;15、C;16、1;
17、无解;18、设1
1
1
a,则原式=(1+a)(a+1)
2
3
4
5
–a(1+a+1)=155
19、 5 20 、(1)60天;(2)24天;
21、第一堆棋子数目为 11k,第二堆棋子数目为 5k,k
为整数。