离散频率域变换.doc

第四章离散频域变换
1. 序列的傅里叶变换(DTFT)

DTFT:Discrete-time Fourier transform
为研究离散时间系统的频率响应作准
备,从抽样信号的傅里叶变换引出:
与z变换之关系
逆变换

表示
、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较


(DTFT)

变换名称
傅里叶变换
拉普拉斯变换
z变换
信号类型
变量

模拟角频率,量纲:弧度/秒;
数字角频率,量纲:弧度;
是周期为的周期函数
关系:

4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT)
2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题
假定是一个长度为N的有限长序列,将以N为周期延拓而成的周期序列为,则有
或表示为。于是与的关系表示为:
将表示为离散时间傅里叶级数有:
其中是傅里叶级数的系数,这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将的主值周期记为,,由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1,在次区间内=,因此可以得到:
,
,
表明时域N点有限长序列可以变换成频域N点有限长序列。显然,DFT与DFS之间存在以下关系:
3离散傅里叶变换(DFT)的推导
时域抽样:
目的:解决信号的离散化问题。
效果:连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
时域截断:
原因:工程上无法处理时间无限信号。
方法:通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果:时域乘以矩形脉冲信号,频域相当于和抽样函数卷积。
时域周期延拓:
目的:要使频率离散,就要使时域变成周期信号。
方法:周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现。
表示:延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果:周期延拓后的周期函数具有离散谱。
经抽样、截断和延拓后,信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。
图1 DFT推导过程示意图
处理后信号的连续时间傅里叶变换:
是离散函数,仅在离散频率点处存在冲激,强度为
,其余各点为0。
是周期函数,周期为,每个周期内有个不同的幅值。
时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT及IDFT的定义
DFT定义:设是连续函数的个抽样值,这N个点的宽度为N的DFT为:
IDFT定义:设是连续频率函数的个抽样值, 这N个点的宽度为N的IDFT为:
称为N点DFT的变换核函数,称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。
同样的信号,宽度不同的DFT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的,或者说它们是互逆的。
引入
用途:
正逆变换的核函数分别可以表示为和。
核函数的正交性可以表示为:
DFT可以表示为:
IDFT可以表示为:
性质:周期性和对称性:
3 离散谱的性质
离散谱定义:称为离散序列的DFT离散谱,简称离散谱。
性质:
周期性:序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。
共扼对称性:如果为实序列,则其N点的DFT关于原点