45 第46讲 定积分的物理应用.pdf

45 第46讲_定积分的物理应用高等数学典型例题与解法(一)
第46讲定积分的物理应用
理学院朱健民教授
主要内容
内容提要
典型例题解析
1、微元法的一般原则
在中取一小区间,给出所求量在该区间上的表达式
(即所求量的微元)
则在上的积分(即求和)得所求为


2、几个物理问题的应用
(1) 液体的静压力
液体深度为处的压强等于该处单位面积所承
受的正压力
(2) 变力作功力在位移下所作的功
(3) 万有引力两质点间的万有引力公式


例46-1 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛满半桶水,设桶高为,
桶底半径为,水的比重为
,试计算:
(1) 桶的一个端面所受的压力。
(2) 桶的下半圆柱面部分所受到的压力。
【解】(1) 按图建立坐标系, 则端面边界的方程为

区间对应桶中盛水的部分,它中
间的小区间对应端面的小窄条,该小条处
于水中的深度为,面积为
,因此压力
微元为

例46-1 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛满半桶水,设桶高为,
桶底半径为,水的比重为
,试计算:
(1) 桶的一个端面所受的压力。
(2) 桶的下半圆柱面部分所受到的压力。
【续解】
于是,所求压力为






例46-1 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛满半桶水,设桶高为,
桶底半径为,水的比重为
,试计算:
(2) 桶的下半圆柱面部分所受到的压力。
【解】(2) 这里我们借助于极坐标对盛水的半圆柱面

下半圆对应极角的变化区间为,
进行分割,
它中间的小区间对应圆柱面上的小长条,
该小长条位于水中的深度为,面积为
,
因此小长条所受的压力微元为

,
例46-1 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛满半桶水,设桶高为,
桶底半径为,水的比重为
,试计算:
(2) 桶的下半圆柱面部分所受到的压力。
【续解】
,


,


,


所以
,






,


即下半圆柱面所受压力的垂直分量为
,水平分量为.

例46-2 若1千克的力能使弹簧伸长1厘米,现在要使该弹簧伸长 10厘
米,问需要做多少功?

【解】水平放置的弹簧处于平衡时,其
右端在原点处,根据胡克定律,在弹性限
度内,弹力与弹簧的伸长成正比,方向指向原点,即,其中
为弹性系数。
在弹簧拉伸过程中,所受外力与弹力的大小相等,方向相反, 故
。由条件,当, , 所以

.
,即.

.
例46-2 若1千克的力能使弹簧伸长1厘米,现在要使该弹簧伸长 10厘
米,问需要做多少功?

【续解】

.
,即.

.
当弹簧右端从处拉伸到处时,所做功微元为
因此要使弹簧伸长 10厘米,需要做功为

.

.

 ,即 。