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上一章根据消费者的偏好结构建立了效用函数，利用效用函数可以刻画消费者在既定收入约束下的最优选择行为，并从中推导出消费对商品的需求函数。其中的逻辑过程是：偏好关系→效用函数→需求函数，本章将在这一逻辑框架下来分析消费者的最优选择问题。消费者最优选择问题可以归结为消费者在既定收入约束条件下的效用极大化问题或为既定效用水平下的支出极小化问题，这两个问题互为对偶问题，对前一问题的求解所得到的需求函数为马歇尔需求函数，而通过对后一个问题的求解所得到的需求函数为希克斯需求函数。通过本章的学习，你可以了解：
消费者效用极大化问题；
消费者支出极小化问题：
对偶原理；
需求的比较静态分析；
需求弹性;
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消费者的最优选择：效用极大化问题
效用最大问题与马歇尔需求函数
间接效用函数及其性质
马歇尔需求函数与间接效用函数的关系：罗伊恒等式
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效用最大问题与马歇尔需求函数
效用最大化问题的基本形式
效用最大化问题的均衡解
马歇尔需求函数
2025/1/25
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A、效用极大化问题的基本形式
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B、均衡解与马歇尔需求函数
瓦尔拉斯法则：最优解总是把钱化光，即p*•x=m
这与x*是最优解矛盾
均衡解的充要条件：如果u(x)具有良好性质，即u(x)可导，则根据拉格朗日函数：
一个例子（见：）
（马歇尔需求函数）
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间接效用函数及其性质
间接效用函数的定义
间接效用函数的性质
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A、间接效用函数的定义
效用最大化问题的目标函数 直接表明了效用与消费量之间的关系，因此又被称为直接效用函数，根据直接效用函数和预算约束所得到的最优解 反映了在不同价格和收入水平下消费者对商品的需求，将效用最大化的最优解带入直接效用函数所得到的函数被定义为间接效用函数，记为： ，即：
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B、间接效用函数的性质
如果直接效用函数在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数就一定具有以下几个性质：
性质1： 在 上是连续的[1]；
性质2： 是关于 的零次齐次函数；
性质3： 是关于m的严格递增函数；
性质4： 是关于p的严格递减函数
性质5： 对价格p是拟凸
性质6： 满足罗伊恒等式（Roy’s identity）

[1] 表示预算集的定义域，其中：表示价格的定义域，下标“＋＋”是指严格为正，没有一维价格为0，n表示有n维价格； 表示收入的定义域，收入可以为0。
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证明性质1：
性质1是说，当收入与价格发生微量的变化时，极大化了的效用也会发生微量的变化。这是很自然的，因为如果u(x)是连续的，那么其极大化了的值也是连续的。
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证明性质2：
性2质是说，当价格和收入同比率变动时，效用不会发生变动。为此需要证明对于所有t>0，有:
由于: ，它显然等价于：
即：
性质2得证。
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