一次不等式(组)中参数取值范围求解技巧.pdf

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已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值围，以及解含方程与不等
式的混合组中参变量（参数）取值围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合
性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
一、化简不等式（组），比较列式求解
例 1．若不等式的解集为，求 k 值。
解：化简不等式，得 x≤5k，比较已知解集，得，∴。
例 2．（2001 年威海市中考题）若不等式组的解集是 x>3，则 m 的取值围是（ ）。
A、m≥3 B、m=3 C、m<3 D、m≤3
解：化简不等式组，得，比较已知解集 x>3，得 3≥m, ∴选 D。
例 3．（2001 年市中考题）若不等式组的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_____。
解：化简不等式组，得
∵ 它的解集是-1<x<1，
∴ 也为其解集，比较得
∴(a+1)(b-1)=-6.
评述：当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集
列不等式（组）或列方程组来确定参数围是一种常用的基本技巧。
二、结合性质、对照求解
例 4．（2000 年市中考题）已知关于 x 的不等式(1-a)x>2 的解集为，则 a 的取值围是
（ ）。
A、a>0 B、a>1 C、a<0 D、a<1
解：对照已知解集，结合不等式性质 3 得：1-a<0, 即 a>1，选 B。
例 5．（2001 年荆州市中考题）若不等式组的解集是 x>a，则 a 的取值围是（ ）。
A、a<3 B、a=3 C、a>3 D、a≥3
解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集 x>a,得 a≥3, ∴选 D。
变式（2001 年市初数赛题）关于 x 的不等式(2a-b)x>a-2b 的解集是，则关于 x 的不
等式 ax+b<0 的解集为______。
三、利用性质，分类求解
例 6．已知不等式的解集是，求 a 的取值围。
解：由解集得 x-2<0,脱去绝对值号，得
。
当 a-1>0 时，得解集与已知解集矛盾；
当 a-1=0 时，化为 0·x>0 无解；
当 a-1<0 时，得解集与解集等价。
∴
例 7．若不等式组有解，且每一个解 x 均不在-1≤x≤4 围，求 a 的取值围。
解：化简不等式组，得
∵它有解，∴ 5a-6<3aa<3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在 x<-1 或 x>4。
于是分类求解，当 x<-1 时，得，
当 x>4 时，得 4<5a-6a>2。故或 2<a<3 为所求。
评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得
分正、零、负讨论求解；对解集不在 a≤x<b 围的不等式(组)，也可分 x<a 或 x ≥b 求解。
(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。
四、借助数轴，分析求解
例 8．（2000 年聊城中考题）已知关于 x 的不等式组的整数解共 5 个，则 a 的取值围
是________。
解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，
如图 1，其整数解 5 个必为 x=1,0,-1,-2,-3。由图 1 得：-4<a≤-3。

变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求 a 的围。
(2)若上不等式组无整数解，求 a 的围。(答：(1)-1<a≤0；(2)a>1)
例 9．关于 y 的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数 t 的围。
解：化简不等式组，得 其解集为
借助数轴图 2 得
化简得 , ∴ 。

评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图 2 中确定
可动点 4、B 的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。
五、运用消元法，求混台组中参数围
例 10. 下面是三种食品 A、B、C 含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备
将三种食品混合成 100kg，混合后每 kg 含硒不低于 5 个单位含量，含锌不低于 个单位
含量。要想成本最低，问三种食品各取多少 kg?
A B C
硒（单位含量/kg） 4 4 6
锌（单位含量/kg） 6 2 4
单位（元/kg） 9 5 10
解 设 A、B、C 三种食品各取 x，y，z kg，总价 S 元。依题意列混合组

视 S 为参数，(1)代入(2)整体消去 x+y 得：4(100-z)+6z≥500z≥50,
(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y≥950,
由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤，
再把(1)与(4)联立消去 x 得：S=900-4y+z≥900+4×(-)+50,即 S≥900。
∴ 当 x=, y=, z=50kg 时，S 取最小值 900 元。
评述：由以上解法得求混合组中参量围的变 思维模式：由几个方程联立消元，用一个
(或多个)未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几
个未知数围，再用它们的围来放缩(求出)参数的围。
涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，
请同学们解混合组
其中 a, n 为正整数，x，y 为正数。试确定参数 n 的取值。