不等式的应用、参数取值范围问题.doc

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第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题
知识、方法、技能
I．排序不等式（又称排序原理）
设有两个有序数组及
则（同序和）
（乱序和）
（逆序和）
其中是1，2，…，（对任一排列）成立.
证明：不妨设在乱序和S中时（若，则考虑），且在和S中含有项
则 ①
事实上，左－右=
由此可知，当时，调换（）中与位置（其余不动），所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得如此至多经次调整得顺序和
②
这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当或时②，若它们不全相等，则必存在及k，使这时①②中不等号成立.
类似地可证“乱序和不小于逆序和”.
II．应用排序不等式可证明“平均不等式”：
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设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是

此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到
，
和平方平均（在统计学及误差分析中用到）
这四个平均值有以下关系.
其中等号成立的充分必要条件都是.
下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：
记；

由于数组和数组中对应的数互为倒数，由排序不等式得
（逆序和）
，
即
从而等号当且仅当或时成立，而这两者都可得到.
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下面证明对个正数应用得

即（符号成立的条件是显然的）.最后证明它等价于

而上式左边=
，，对一切成立.
III．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.
柯西（Cavchy）不等式：设、、，…，是任意实数，则

等号当且仅当为常数，时成立.
证明：不妨设不全为0，也不全为0（因为或全为0时，不等式显然成立）. 记A=，B=.
且令
则于是原不等式成为

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其中等号成立的充要条件是从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是
IV．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.
切比雪夫不等式：若， ，
则
证明：由题设和排序不等式，有=，
，
……

将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.
赛题精讲
I．排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题.
例1：对，比较的大小.
【思路分析】要应用“排序不等式”，必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.
【略解】 取两组数

不管的大小顺序如何，，故
.
【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.
例2：，求证
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【思路分析】 应先将、、三个不失一般性地规定为
【略解】由于不等式关于、、对称，可设
于是.
由排序不等式，得（乱序和）.
及
以上两个同向不等式相加再除以2，
，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成.
【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，，再给出适当的数组.
例3：在△ABC中，试证：
【思路分析】 可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.
【详解】 不妨设，于是由排序不等式，得

相加，得，
得 ①
又由有

得 ②
由①、②得原不等式成立.
【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.
例4：设是互不相同的自然数，试证
【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序.
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【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1，2，…，n的一个排列，则于是由排序不等式，得

例5：设是正数的一个排列，求证
【思路分析】 应注意到
【略证】不妨设，因为都大于0. 所以有，
又的任意一个排列，于是得到

【评述】 此题比较简单，但颇具启发意义，读者应耐心体会.
例6：设正数的乘积，试证：
【略解】设，这里都是正数，则原需证明的不等式化为
，，

故得
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【评述】 ：设正数、、的乘积
证明
证明：设，且所需证明的不等式可化为
，现不妨设，则
，据排序不等式
得
及
两式相加并化简可得

例7：设实数是的一个置换，证明：

【略解】 显然所需证不等式等价于这由排序不等式可直接得到.
【评述】 应用此例的证法可立证下题：
设是两两互异的正整数（，证明对任意正整数，均有
证明：设是的一个排列，使，则从条件知对每个
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，于是由排序不等式可知
II．柯西不等式的应用
应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.
例8：设，求证：
【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.
【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.
【详解】 ∵，故由柯西不等式，得


，
∴
【评述】这是一道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.
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针对性训练题
1．设、、，利用排序不等式证明：
（1））；
（2）；
（3）；
（4）
2．设、、是三角形三边的长，求证：
3．已知、、，并且求证：

4．设求证：
5．若的最大值.
6．若的最小值.
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7．已知的最小值.
8．的最值.