极坐标与参数方程.pptx

极坐标与参数方程
第三组
起源、考纲要求、重要性
基本知识点与性质
高考中的极坐标与参数方程
高等数学中的极坐标与参数方程
极坐标与参数方程
一、希腊人最早使用了角度和弧度的概念。
◆天文学家喜帕恰斯制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且,曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。
◆在螺线方面,阿基米德描述了他的著名的螺线,一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献,尽管最终并没有建立整个坐标系统。
二、极坐标系概念的引入
◆格雷瓜·德·圣-万桑特和博纳文图拉·卡瓦列里,被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。
◆圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年,而卡瓦列里在1635进行了发表,而后又于1653年进行了更正。
◆卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中,牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。
◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线,定点称为极点,射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。
◆克莱罗和欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。
考试大纲要求
1. 理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;
2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置。理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化;
3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义;
⒋了解参数方程及其意义,能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程;
,写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
学习本部分知识的意义
◆掌握极坐标系和参数方程的基本概念,对曲线有多种表现方式也会有深刻认识;
◆重温坐标法思想,拓宽了学生思维宽度;
◆体会从各种生产生活问题中抽象出数学问题的过程,激发学生的探究精神,了解数学的实用意义,提高学生的数学应用意识和实践能力。

极坐标系和参数方程虽为选修内容,高中学生也应该重视对本专题的学习,既可以体会其中的数学思想,也能提高对数学的认识,而且可以与已学知识融会贯通
极坐标系
定义:平面内的一条有规定有单位长度的射线0x,0为极点,0x为极轴,选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向),这就构成了极坐标系。
O
x
P(ρ, θ)
ρ
θ
1
极坐标系内一点P的极坐标
平面上一点P到点O的距离|OP|称为极径P,OP与OX轴的夹角θ称为极角,有序数对P(ρ,θ),就叫做点P的极坐标
P(ρ,θ)
x
y
θ
O
ρ
(1)一般情况下。不特加以说明时P表示非负数:
当ρ=0时表示极点:
当ρ<0时,点P(ρ,θ)的位置这样确定,作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取一点P',使得|OP'|=ρ,点P'即为所求的点。
(2)点P(ρ,θ)与点(ρ,2kπ+θ)(k∈Z)所表示的是同一个点,即角θ与2kπ+θ的终边是相同的。
综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ,θ),(ρ,2kπ+θ),(-ρ,(2k+1)π+θ)均表示同一个点