工科复变3.ppt

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第三章复积分
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至此,关于解析函数,我们获得了定义,,我们选择怎样的研究途径呢?经讨论,,这种选择是成功的.
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要点
、性质及其计算公式;
、 Cauchy积分公式和高阶导数公式;
、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分;
。
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§3-1 复积分的概念及性质
1 积分的概念
2 积分存在条件及性质
3 积分实例
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1. 积分的概念
设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线。
如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向,
那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,
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简单闭曲线 C 的正向是指当曲线上的点 P 沿此方向前进时, 邻近 P 点的曲线的内部始终位于 P 点的左方.
与之相反的方向就是曲线的负方向.
关于曲线方向的说明:
以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向.
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设C为一条起点在a,终点在b的有向光滑曲线(或逐段光滑曲线),其方程为
同数学分析一样,我们也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤来定义积分.
函数在C上处处有定义。
图3-1
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=z0,z1,…,zn=b 记该分法为T;取
如图,作积分和式:
图3-1
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(T),且令
定义若对曲线的任意分法T和任意
当时,上述和式的极限存在且唯一,则称函数 f(z) 沿曲线 c 可积,其积分值为I,记为
其中,c 称为积分路径,f(z) 为被积函数,z 为积分变量。
(3-1-1)
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例设是一条起点在A终点在B的逐段光滑曲线,试计算
解:依定义,将
代入() ,有
故
=B-A
此例揭示了函数
的一个深刻性质:
复变函数的积分只依赖于积分路径C的起点A
与终点B,而与积分路径的形状无关.