小专题 概率中的“放回”与“不放回”问题.pdf

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类型 1  有放回抽取 
“有放回”抽取问题第一次抽取后有放回，故第二次抽取不受第一次的影响． 
 
1．(广安中考)大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字－1，0，1 的卡片，它们背
面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为 p的值；然后将卡
片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为 q的值，两次结果记为(p，q)． 
(1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p，q)所有可能出现的结果； 
(2)求满足关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 没有实数解的概率． 
解：(1)列表表示(p，q)所有可能的结果如下，共有 9 种： 
 
      q 
(p，q)  －1  0  1 
p         
－1  (－1，－1)  (－1，0)  (－1，1) 
0  (0，－1)  (0，0)  (0，1) 
1  (1，－1)  (1，0)  (1，1) 
(2)当 p2－4q<0时，方程没有实数解，满足 p2－4q<0的(p，q)共有 3 对：(－1，1)，(0，1)，(1，1)． 
3 1
∴关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 没有实数解的概率是 ＝ . 
9 3
 
2．(遵义中考)有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有 3 张卡片，卡片上分别写着 3 cm、7 cm、9 cm；乙盒
子中装有 4 张卡片，卡片上分别写着 2 cm、4 cm、6 cm、8 cm；盒子外有一张写着 5 cm的卡片．所有卡片的形状、
大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分
别作为一条线段的长度． 
(1)请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率； 
(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率． 
解：(1)根据题意，画树状图如下： 
 
由树状图可知共有 12种等可能的结果，其中能与 5 cm组成三角形的有 7 种， 
7
∴P(能组成三角形)＝ . 
12
(2)由(1)中树状图可知共有 12种不同的可能，其中能与 5 cm组成直角三角形的有 1 种， 
1
∴P(能组成直角三角形)＝ . 
12
 
 
 
 
3．为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下游戏：在三张完全相同的卡片上，分别写上字母 A，B，
B，背面朝上，每次活动洗均匀． 
甲说：“我随机抽取一张，若抽到字母 B，电影票归我．” 
乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我．” 
(1)求甲获得电影票的概率； 
(2)求乙获得电影票的概率； 
(3)此游戏对谁有利？ 
2
解：(1)P(甲获得电影票)＝ . 
3
(2)可能出现的结果如下(列表法)： 
 
  A  B  B 
A  (A，A)  (A，B)  (A，B) 
B  (B，A)  (B，B)  (B，B) 
B  (B，A)  (B，B)  (B，B) 
5
共有 9 种等可能结果，其中两次抽取字母相同的结果有5 种．∴P(乙获得电影票)＝ . 
9
2 5
(3)∵ >
3 9，∴此游戏对甲更有利． 
 
 
类型 2  不放回抽取 
若题目中出现“不放回”或者“随机抽取两个”这样的字眼，则该题目属于不放回抽取．不放回抽取问题中第
一次抽取到的元素，第二次就抽取不到了． 
 
4．(茂名中考)有四张正面分别标有数字 1，2，3，4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背
面朝上洗均匀． 
(1)随机抽取一张卡片，求抽到数字“2的”概率； 
(2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“1”
且第二次抽到数字“2的”概率． 
1
解：(1)P(抽到数字“2”＝) . 
4
(2)列表如下(画树状图正确也可)： 
 
    第二次 
1  2  3  4 
第一次     
1    (1，2)  (1，3)  (1，4) 
2  (2，1)    (2，3)  (2，4) 
3  (3，1)  (3，2)    (3，4) 
4  (4，1)  (4，2)  (4，3)   
共 12种等可能的结果，第一次抽到数字“1且”第二次抽到数字“2的”结果有 1 种， 
1
∴P(第一次抽到数字“1且”第二次抽到数字“2”＝) . 
12
5．(日照中考)在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同
学，每人才能获得一次抽奖机会．在如图所示的翻奖牌正面的4 个数字中任选一个数字，选中后就可以得到该数字
后面的相应奖品．前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择该数字了． 
 
1  2 
3  4 
     
文具  计算器 
计算器  篮球 
 
 
翻奖牌正面              翻奖牌背面 
(1)请用树状图(或列表)的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率； 
(2)有同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他抽到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说明理由． 
解：(1)画树状图如下： 
 
从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共 24种，而且这些情况都是等可能的． 
4 1
①当按甲→乙→丙的顺序抽时，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 ＝ ； 
24 6
4 1
②当按甲→丙→乙的顺序抽时，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 ＝ ； 
24 6
4 1
③当按乙→甲→丙的顺序抽时，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 ＝ ； 
24 6
4 1
④当按乙→丙→甲的顺序抽时，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 ＝ ； 
24 6
4 1
⑤当按丙→甲→乙的顺序抽时，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 ＝ ； 
24 6
4 1
⑥当按丙→乙→甲的顺序抽时，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 ＝
24 6， 
1
综上所述，甲、乙两人都抽到计算器的概率为 . 
6
(2)这种说法是不正确的．由上面的树状图中可以看出，所有可能出现的结果共 24 种，而且这些情况都是等可
能的． 
1 3 1 6
先抽取的人抽中篮球的概率是 ；第 2 个抽取的人抽中篮球的概率是 ＝ ；最后抽取的人抽中篮球的概率是
4 12 4 24
1
＝ . 
4
∴甲无论是先抽还是后抽，得到篮球的概率是相等的．