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gct高等数学.doc第三章微分中值定理与导数应用
主讲------姜进进
第一节微分中值定理
教学目的:理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理.
教学重点:罗尔定理、拉格朗日中值定理.
教学难点:罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用.
教学内容:
一、罗尔定理
1. 罗尔定理
罗尔定理如果函数满足:(1)在闭区间上连续, (2)在开区间内可导, (3)在区间端点处的函数值相等,即, 那么在内至少在一点, 使得函数在该点的导数等于零,即.
证明:由于在上连续,因此必有最大值M和最小值,于是有两种可能的情形:
(1),此时在上必然取相同的数值M,即
由此得因此,任取,有
(2),由于,(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有. 证毕
例1 验证罗尔定理对在区间上的正确性
解显然在上连续,在上可导,且, 又, 取,有.
说明:1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;
2 使得定理成立的可能多于一个,也可能只有一个.
例如在上除不存在外,满足罗尔定理的一切条件, 但在区间内找不到一点能使.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

拉格朗日中值定理如果函数满足(1)在闭区间上连续, (2)在开区间内可导, 那么在内至少有一点, 使得等式
2. 拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理1)可用于证明等式;2)可用于证明不等式.
例4 证明当时,
证明: 设, 则在上满足拉氏定理的条件
于是
又, 于是
而, 所以, 故
从而, 即
三、柯西中值定理
柯西中值定理如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,那末在内至少有一点,使等式成立
例5 设函数在上连续,在内可导,证明:至少存在一点,使
证明与分析: 结论可变形为
设,则在上满足柯西中值定理的条件
于是至少存在一点,使
所以至少存在一点,使
即
第二节洛必达法则
教学目的:理解洛必达法则,掌握用洛必达法则求型和型以及型未定式的极限的方法; 了解型极限的求法.
教学重点:洛必达法则.
教学难点:理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.
教学内容:
一. 型和型未定式的解:法洛必达法则
定义:若当(或)时,函数和都趋于零(或无穷大),则极限可能存在、也可能不存在,通常称为型和型未定式.
例如, (型); , (型).
定理:设(1)当时, 函数和都趋于零;
(2)在点的某去心邻域内,和都存在且;
(3) 存在(或无穷大),
则
定义:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
例1 求, (型)
解原式==
例2 求, (型)
解原式= =
例3 求, (型)
解原式===1
例4 求, (型).
解原式= = =1
例5 求, (型)
解原式== =
= =
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.
例6 求
解原式= = ==

关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型和型.

步骤:或
例7 求型
解原式==
步骤:
例8 求型
解原式=
步骤:
例9 求型
解原式=
例10 求型
解原式=
例11 求型
解由于
而
所以原式=
注意:洛必达法则的使用条件.
例12 求
解原式=极限不存在
(洛必达法条件不满足的情况)
正确解法为原式=
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
教学目的:理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理,会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间.
教学重点:掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法.
教学难点:导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点.
教学内容:
一、函数单调性的判定法
如果函数在上单调增加(单调减少), 那么它的图形是一条沿轴正向上升(下降)的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的), 即(或) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.
反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?
定理1 (函数单调性的判定法) 设函数在上连续, 在内可导.
(1)如果在内, 那么函数在上单调增加;
(2)如果在内, 那么函数在上单调减少.
证明只证(1)((2)可类似证得)
在上任取两点, 应用拉格朗日中值定理, 得到
.
由于在上式中, 因此, 如果在