2024届高考数学必背的二级结论.pdf

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大智慧教育 祝你考试顺利，高考大捷！
新高考数学必背的二级结论
1．函数的奇偶性
(1)若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；图象关于 y 轴对称。
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．图象关于原点对称，若 ∈ ,则(0) = 0. 奇函数在对称区间
上的最大值与最小值的和为 0。
(2)奇函数×奇函数是偶函数, 偶函数×偶函数是偶函数, 奇函数×偶函数是奇函数。
2．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数 f(x)满足关系式 f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数 y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 ．
a＋b
(2)若函数 f(x)满足关系式 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 对称．
2
3. 函数的周期性结论
(1)若函数 f(x)为偶函数，且 f(a＋x)＝f(a－x)，则 2a 是函数 f(x)的一个周期．
(2)若函数 f(x)为奇函数，且 f(a＋x)＝f(a－x)，则 4a 是函数 f(x)的一个周期．
(3)若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，且 f(b＋x)＝f(b－x)，则 2(b－a)是函数 f(x)的一个周期．
(4)若 f(a＋x)＝- f(x)，则 2a 是函数 f(x)的一个周期。
1
(5)若 f(a＋x)＝(𝑥)，则 2a 是函数 f(x)的一个周期。
1
(6)若 f(a＋x)＝- (𝑥)，则 2a 是函数 f(x)的一个周期。
4. 反函数结论
(1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于 y＝
x 对称，它们的图象和性质分0< a<1 ，a>1两种情况。
(2)只有单调函数才存在反函数。
5. 基本不等式求最值的解题技巧
1 : .
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(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用
基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，
A
即化为 y＝m＋ ＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
g(x)
(4)注意“1”的灵活代换。
(5)运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“ 二定 ”“ 三相等”．所谓 “一正”
是指“正数”；“二定 ”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满
足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，
否则最值取不到．
+ 2 2+2
（6）重要不等式：( ) ≤
2 2
2 + 2 + 2
≤ √ ≤ ≤ √ ( > 0. > 0)
1 1 2 2
+
+ +
< ( > ) > ( < )
+ +
6. 切线不等式
𝑥
(1)ln x≤x－1， ln x≤.
(2)ex≥x＋1, ex≥x
(3) ≥ 𝑖,( ≥ 0) 𝑥 ≥ 2( ≥ 0)
7. 导数中函数的构造问题
(1)当条件中含“＋”时优先考虑 xf(x)；
f(x)
(2)当条件中含“－”时优先考虑 x .
f(x)
(3)当条件中含“xf′(x)－nf (x)”的形式构造函数 xn 。
(4)当条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式构造函数 xf (nx)。
2 : .
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f(x)
(5)当条件中含“f′(x)－f(x)”的形式构造函数 ex ．
f(x)
(6)当条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式构造函数sin x．
8. 洛必达法则
设函数 f(x)，g(x)满足：(1)limx→af(x)＝limx→ag(x)＝0(或∞)；(2)在 U(a)内， f′(x)和 g′(x)都存在，
f′(x)
且 g′(x)≠0；(3) limx→a ＝A(A 可为实数，A 也可以是±∞)．
g′(x)
f(x) f′(x)
则limx→a ＝limx→a ＝A(可连续使用)．
g(x) g′(x)
9. 隐零点问题
在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题
目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．
求解三步曲：
(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 f′(x0)＝0，并结合 f(x)的单
调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到 f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适
当缩小．
10. 极值点偏移问题
对于函数 y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点 x0，方程f(x)＝0 的解为 x1，x2且 a<x1<x2<b，
x1＋x2
若 2 ≠ y＝f(x)在区间(a，b)上极值点偏移．
极值点偏移问题的解法：
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对
x2020
结论 x1x2>x2020型，构造函数 F(x)＝f(x)－f  ，通过研究 F(x)的单调性获得不等式．
x
x1
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换 t＝ 化为单变量的函数不等
x2
式，利用函数单调性证明．
3 : .
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11. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0 )的性质
π
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋ ( k∈Z)时，函数 y＝
2
Asin(ωx＋φ)为偶函数．
2π
(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx＋φ)和 f(x)＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为ω；y＝Atan(ωx
π
＋φ)的最小正周期为ω.
(3)根据 y＝sin t 的性质研究 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的性质：
π π π 3π
由－2＋2kπ≤ωx＋φ≤2＋2kπ(k∈Z)可得增区间，由2＋2kπ≤ωx＋φ≤ 2 ＋2kπ(k∈Z)可得减
π
区间；由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由 ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)可得对称轴．
12．奔驰定理
→ → →
定理：如图，已知 P 为△ABC 内一点，则有 S△PBC·PA ＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点 O 在△ABC 内部，有以下四个推论：
→ → →
(1)若 O 为△ABC 的重心，则OA＋OB＋OC＝0.
→ → →
(2)若 O 为△ABC 的外心，则 sin 2A·OA＋sin 2B·OB＋sin 2C·OC＝0.
→ → →
(3)若 O 为△ABC 的内心，则 a·OA＋b·OB＋c·OC＝0.
→ → →
备注：若 O 为△ABC 的内心，则 sin A·OA＋sin B·OB＋sin C·OC＝0 也对．
→ → →
(4)若 O 为△ABC 的垂心，则 tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝0.
a＋b2 a－b2
13. 向量 极化恒等式 a·b＝  －  .
 2   2 
→ → → 2 → 2
如图，在△ABC 中，设 M 为 BC 的中点，则AB·AC＝AM －MB .
4 : .
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14. 用“不动点法”求数列的通项公式
对于一个函数 f(x)，我们把满足f(m)＝m 的值 x＝m 称为函数 f(x)的“不动点”．利用“不
动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．
(1)若 f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p 是 f(x)的不动点．数列 {an}满足 an＋1＝f(an)，则 an＋1－p＝a(an－
p)，即{an－p}是公比为 a 的等比数列．
ax＋b
(2)设 f(x)＝ (c≠0，ad －bc ≠0)，数列{an}满足 an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若 f(x)有两个相异
cx＋d
an＋1－p an－p
的不动点 p，q，则 ＝k· .
an＋1－q an－q
15. 数列中的奇、偶项问题
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等
差、等比数列或其他特征)求解原数列．
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或 an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求 Sn 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项
的和，也可以把 a2k－1＋a2k看作一项，求出 S2k，再求 S2k－1＝S2k－a2k.
16. 空间角
设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b．平面 α，β 的法向量分别为 u，v。
(1)线线夹角
 π |a·b|
设 l，m 的夹角为 θ0≤θ≤2，则 cos θ＝
|a|| b|
(2)线面夹角
 π |a·u|
设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ 0≤θ≤ ，则 sin θ＝
 2 |a|| u|
(3)二面角
5 : .
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