概率与概率的加法公式1-2.doc

§2 随机事件的概率,古典概型与概率的加法公式
2000/7/31
概率的统计定义:
:
随机事件在一次具体的试验是否发生,虽然不能预先知道,但是,当大量重复同一试验时,随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性. 如:历史上有人作过成千上万次投掷硬币,下表列出他们的试验记录:


1。随机事件及其概率
2。古典概型
容易看出,,其中
事件A发生的次数频数
事件A发生的频率= =
试验总次数试验总次数.
我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的,下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述,称为事件发生的概率.
:
定义:在不变的一组条件S下,重复作次试验,,如果频率稳定在某一数值的附近摆动,而且一来随着试验次数增多,这种摆动的幅度越变越小,则称数值为事件在条件S下发生的概率,记作

这里,频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述,,事件的频率是带有随机性的,这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率,却是一个客观存在的实数,是不变的。
二. 古典概型:
: 如果随机现象满足下列三个条件:
一次试验可能结果只有有限个,即所有基本事件只有有限个:
,
每一个基本事件发生的可能性是相等的.
基本事件是两两互不相容
满足以上三个条件的随机现象模型,称为古典概型.
在古典概型中,如果n为基本事件总数, m为事件A包含的基本事件数, 那么事件A的概率


法国数学家拉普拉斯(Laplace),因为它只适用于古典概型场合.
古典概型公式的运用举例:
【例1】,求它是白球的概率.
解: 容易看出,“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的,且
基本事件总数n=5,取到白球的基本事件数m=2,故

把白球换为合格产品,黑球换为废品,,能使问题更消楚,更易于计算。
【例2】把a, b两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ的三只盒子里,求盒子I中没有球的概率。
解:这是一个古典概型问题,
把a, b两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ的三只盒子里,基本事件总数

设A=“盒子I中没有球”,则事件A包含的基本事件数

∴
【例3】有一个口袋,内装a只白球,b只黑球,它们除颜色不同外,外形完全一样, 从袋了中任不同外,外形完全一样. 现任意模出2个球时,求:
(1)模出2个球都是白球的概率;
(2)模出一个白球一个黑球的概率
解: 这口袋共有a+b只球,从袋了中任意模出2个球的基本事件总数
,
模出2个球都是白球基本事件数,
∴模出2个球都是白球的概率;
模出一个白球一个黑球的基本事件数,
∴模出一个白球一个黑球的概率.
若把黑球作为废品,白球作为好品,,例如:一等品,二等品,二等品,.
【例3】列
【例4】
:
:
,

【例5】有一个口袋内装可分辨4个黑球,6个白球, 它们除颜色不同外,外形完全一样. 现按两种取法;
(Ⅰ)无放回;
(Ⅱ)有放回
连续从袋中取出3个球,分别求下面事件的概率:
“取出3个球都是白的”;
“取出2个黑球,1个白球”.
解:(Ⅰ)无放回:连续从袋中取出3个球的基本事件总数
,
(1)取出3个球都是白的基本事件数,
∴;
(2)取出2个黑球,1个白球,注意到取出黑球的次序,
∴事件的基本事件数,
因而

(Ⅱ)有放回: 连续从袋中取出3个球的基本事件总数
,
取出3个球都是白的基本事件数,
∴;
取出2个黑球,1个白球,注意到黑球黑球的次序,
∴事件的基本事件数,
因而
【例6】设有k个球,每个球都能以同样的概率落到N个格子(Nk)的每—个格子中,
试求:下列事件的概率
(1) A=”某指定的k个格子中各有一个球”;
B=”任何k个格子中各有一个球”;
(3) C=“k个球落到同一个格子中”.
解: 这是一个古典概型问题,由于每个球可落入N个格子中的任一个,所以n个球在N个格子基本事件总数
(1) k个球在那指定的k个格子中全排列,总数为n!,因而所求概率
(2)n个格子可以