函数的单调性.ppt

通过实验研究,专家发现:中学生听课的注意力指标是随着老师讲课时间的变化而变化的。讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散。学生注意力指标数随时间变化的函数图象如图所示(指标数越大表示学生注意力越集中)。
——摘自2004年“TRULY信利杯”全国数学竞赛试题第11题
48
39
20
x(时间:分)
y(指标数)
0
5
10
20
45
问题探究
x(时间:分)
y(注意力指标数)
0
20
10
20
45
48
。
请你说出注意力指标数与时间在[0,45]内的变化规律.
问题探究
x(时间:分)
0
20
10
48
y(注意力指标数)
x
y
x1
x2
y1
y2
x1
x2
y1
y2
x1
x2
y1
y2
x1
x2
y1
y2
x1
x2
y1
y2
问题探究
一般地,设函数y=f(x)定义域为A,区间
如果对于区间I内的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数.
此时,I称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间内的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数
此时,I称为y=f(x)的单调减区间
任意
x1<x2
f(x1)<f(x2)
任意
x1<x2
f(x1)>f(x2)
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x).
都有
都有
x(时间:分)
y(注意力指标数)
0
20
10
20
45
48
。
x(时间:分)
y(注意力指标数)
0
20
10
20
45
48
。
函数的单调性
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象?
如何用x与 f(x)来描述下降的图象?
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
O
x
y
y
O
x
O
x
y
-1
y
O
x
写出下列函数的单调区间:
例1 下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数.
解:
y=f(x)的单调区间有
[-5,-3),[-3,1)
[1,3),[3,5].
其中y=f(x)在[-5,-3), [1,3)上
是减函数,
在[-3,1), [3,5)上是增函数.
x
y
o
3
1
-3
5
-5
数学应用
例2 证明函数f(x)=2x+1在区间(-∞,+∞)上是增函数。
注意:我们在证明函数的单调性时,不能“以图代证”, 而是严格按照定义证明.
回想一下,定义的本质是什么?本题怎样用定义来证明?
证明:
例2 证明函数f(x)=2x+1在区间(-∞,+∞)上是增函数。