数学思想方法的两个源头.pptx

第二章数学思想方法的两个源头
第一节古希腊的《几何原本》

第二节中国的《九章算术》
第一节古希腊的《几何原本》
(一)内容简介
《几何原本》是古希腊学者欧几里得(约公元前330—275年)的代表著作。。《几何原本》,堪称古希腊数学的百科全书。传说托勒密王有一次问欧几里得,是否有比钻研《几何原本》更简捷的学习几何的途径,他断然回答:“几何中没有王者之路。”
《几何原本》共13篇,第1篇用23个定义提出点、线、面、圆和平行线等概念,接着是五个公设:
(1)从任意一点到任意—点可作直线。
(2)一条有限直线可不断延长。
(3)以任意一点为中心及任意的距离为半径可以画圆。
(4)所有直角都相等。
(5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交,若在这条直线的某一侧的两个内角的和小于180度,则这两直线经无限延长后在这一侧一定相交。
在五个公设中,第五个公设不像前四个那样显而易见,这就是后来引起许多纠纷的所谓“欧几里得平行公设”.或简称第五公设。大家很快就认为:,而是找不到证明。这实在是《几何原本》这部不朽巨著的白璧微瑕。从《几何原本》的问世到19世纪初,许多学者投入无穷无尽的精力,力图洗刷这—“污点”,最后导致非欧几何的创立。
公设之后是五个公理。。
《几何原本》后面各篇不再列出其它公理。这一篇在公理之后,用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学,其中第47个命题就是著名的勾股定理:“在直角三角形斜边上的正方形(以斜边为边的正方形) 等于直角边上的两个正方形。”
第2篇包括11个命题,主要是用几何的语言叙述代数的恒等式。如第4命题“”,就相当于代数恒等式
。;第12、13命题相当于余弦定理。
、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。
,正方形的研究,圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图
。
第六篇讨论比例理论的几何应用,共有33个命题。
第七、八、九三篇是数论,共有102个命题,也完全用几何的方式叙述、第九篇第20命题是数论中的欧几里得定理:素数的个数无穷多。
第十篇是篇幅最大的一篇,,主要讨论无理量(与给定的量不可通约的量),但是只涉及相当于之类的无理量。
第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系,共有39个命题。
第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于直径平方的比”,还证明了棱锥之间、圆锥之间、圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是:欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法,而是在他看来,这种计算属于实际测量而不用于理论几何。
第十三篇共有18个命题,主要研究五种正多面体,并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。
(二)《几何原本》思想方法的特点
1、封闭的演绎体系
《几何原本》是最早形成的演绎体系。在形式上,它是由少数不定义概念,如点、线、面,虽然《几何原本》中“定义”了这三个概念,但后来的推演中却没有利用这些定义,而且这些定义只是几何形象的直观描述,严格地说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念看作《几何原本》中的不定义概念)等等,和少量不证明的命题(公理和公设)出发,按—定的逻辑规则,定义出该体系中的所有其它概念,推演出所有其它的命题(定理)。
在《几何原本》中,公理是最—般的命题,它们是其后的全部演绎推理的前提。《几何原本》中的所有其它命题都是由公理推导出来的。除了推导时所需要的逻辑规则外,《几何原本》的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系,原则上不再依赖其它东西。因此,从理论发展形式看,《几何原本》是一个封闭的体系。当然,《几何原本》在证明某些命题时确实运用了除公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别地方,并不影响整个体系;而且那正是作为《几何原本》的“缺陷”而受到人们的批评,后来人们不断地在该体系中剔除直观,从而建立起更严格的数学理论体系,其指导思想正是源于《几何原本》。
另外,从《几何原本》与当时的社会生产、生活的关系看,它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题,。
所以,从本质上说,《几何原本》是一个比较完整的、