极限运算法则.ppt

无穷小的性质
极限的四则运算法则
§ 极限运算法则
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证明
设及是当xx0时的两个无穷小
则0
10
当0|xx0|1 时有||
20
当0|xx0|2 时有||
取min{12}
则当0|xx0|时有
这说明也是当xx0时的无穷小
||||||2
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷小的性质
仅就两个xx0时的无穷小情形证明
举例:
当x0时 x与sin x都是无穷小所以xsin x也是当x0时的无穷小
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设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|1}内有界即M0使当0|xx0|1时有|u|M
又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0|xx0|2时有||
取min{12}则当0|xx0|时有
|u||u|||M
这说明u也是当xx0时的无穷小
证明
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷小的性质
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举例:
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
无穷小的性质
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
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(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB
推论1 如果lim f(x)存在而c为常数则
lim[cf(x)]=climf(x)
推论2 如果limf(x)存在而n是正整数则
lim[f(x)]n=[limf(x)]n 
定理3
如果 lim f(x)=A lim g(x)=B那么
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极限的四则运算法则
(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>>
数列极限的四则运算法则
定理5 如果j(x)y(x)而limj(x)=a limy(x)=b那么ab
不等式
定理4 设有数列{xn}和{yn}如果
那么
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求极限举例
讨论
提示
例1
解
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>>>
例2
解
提问
解
例3
解
例4
根据无穷大与无穷小的关系得
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因为
提问
讨论
提示
当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0) 
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先用x3去除分子及分母然后取极限
解
先用x3去除分子及分母然后取极限
例5
解:
例6
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