圆
第一节圆和圆的基本性质
在一个平面内,绕固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心,线段叫做半径。
圆上各点到定点的距离都等于定长(半径r)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的点的集合。
有关概念
弦:连接圆上任意两点的线段
直径:经过圆心的弦
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称为弧
等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧
优弧:大于半圆的弧(用三个点表示)
劣弧:小于半圆的弧
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆
等圆:能够重合的两个圆。半径相等的两个圆(同圆或等圆的半径相等)
弦心距:
同圆:
同心圆:
3.“三点定圆”定理
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧。
5.“等对等”定理及其推论
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
:圆心确定位置,半径确定大小
:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
中心对称图形,对称中心是圆心
设圆的半径为,一点到圆心的距离为,
点在圆外;点在圆上;点在圆内。
第二节直线和园的位置关系
:
d>R
d=R
d<R
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
5、直线和圆的位置关系及其数量特征:
直线和圆的位置
相交
相切
相离
D与r的关系
d<r
d=r
d>r
公共点个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
无
6、有关定理和概念
切线的判定定理:
①经过半径的外端并且垂直与这条半径的直径是圆的切线
②
③
切线的性质定理:圆的切线垂直与过切点的半径
推论:
切线长定理:从园外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆和内心:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
与圆有关的角
与圆有关的角:
⑴圆心角:顶点在圆心的角
⑵圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角
圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。(在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。)
推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90º的圆周角所对的弦是直径。
(与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
圆心角定理,圆周角定理,弦切角定理,
(4)圆内接四边形定理以及相关概念,
圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的对角互补。
(5)如果三角形一条边上的中线等
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